Hình chiếu và đối xứng của điểm qua đường thẳng trong Oxy

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Hình chiếu vuông góc của điểm lên đường là chân đường vuông góc. Điểm đối xứng qua đường được tìm từ hình chiếu bằng công thức trung điểm.

Trong bài: Kiến thức · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Điều kiện xác định hình chiếu

Cho đường $d:ax+by+c=0$, với $a^2+b^2>0$, và điểm $M(x_0;y_0)$. Nếu $M\notin d$, hình chiếu $H$ được xác định bởi $H\in d$ và $MH\perp d$. Nếu $M\in d$ thì $H=M$; không dùng hai điểm trùng để đặt tên đường $MH$.

Có thể dựng đường $\Delta$ qua $M$, có chỉ phương là pháp tuyến $(a;b)$ của $d$. Hai chỉ phương vuông góc và khác 0, nên $\Delta$ cắt $d$ duy nhất tại hình chiếu. Cách này vẫn đúng khi $M$ nằm trên $d$: giao điểm là chính $M$.

2. Công thức trực tiếp và điểm đối xứng

Đặt $q=ax_0+by_0+c$. Một công thức không cần chia cho từng hệ số là

Thay tọa độ này vào phương trình $d$ được 0; đồng thời $\overrightarrow{MH}=-q(a;b)/(a^2+b^2)$, nên khi khác 0 nó có phương vuông góc với $d$. Nếu $q=0$, công thức cho $H=M$. Điểm $M^{\prime}$ đối xứng với $M$ qua $d$ thỏa

Bởi $H$ là trung điểm của $MM^{\prime}$ và đoạn nối theo pháp tuyến, đường $d$ là trục đối xứng. Khi $M\in d$, ta có $M^{\prime}=M$. Cũng có thể tìm $H$ bằng cách đặt tọa độ tổng quát của một điểm trên $d$ rồi dùng tích vô hướng với chỉ phương bằng 0.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hai cách tìm cùng một hình chiếu

Tìm hình chiếu của $M(-1;3)$ lên $d:2x-y+1=0$. Chọn pháp tuyến $(2;-1)$ và chỉ phương $(1;2)$. Đường $\Delta$ qua $M$ vuông góc với $d$ có pháp tuyến $(1;2)$, nên

Giải cùng với $2x-y+1=0$, ta được $H(3/5;11/5)$. Để kiểm tra bằng cách khác, vì $H\in d$, đặt $H(h;2h+1)$. Khi đó $\overrightarrow{MH}=(h+1;2h-2)$ và

Cả hai cách cho cùng $H$. Công thức trực tiếp cũng xác nhận: $q=2(-1)-3+1=-4$, $a^2+b^2=5$, nên $H=(-1+8/5;3-4/5)$.

Ví dụ 2. Tìm điểm đối xứng

Với cùng $M,d$, lấy $H(3/5;11/5)$. Khi đó

Trung điểm của $M,M^{\prime}$ đúng bằng $H$, và $\overrightarrow{MM^{\prime}}=(16/5;-8/5)=\frac85(2;-1)$ vuông góc với $d$. Hai điều kiện xác nhận đối xứng.

Ví dụ 3. Điểm nằm trên đường

Điểm $M(1;3)$ thỏa $2\cdot1-3+1=0$. Vì thế hình chiếu là $(1;3)$ và điểm đối xứng cũng là $(1;3)$. Không cần dựng một đoạn vuông góc có độ dài dương trong trường hợp này.

4. Bài tập tự luyện

1. Tìm hình chiếu và điểm đối xứng của $M(2;1)$ qua trục $Ox$.
2. Tìm hình chiếu và điểm đối xứng của $M(-3;4)$ qua đường $x=1$.
3. Tìm hình chiếu và điểm đối xứng của $O(0;0)$ qua $x+y-2=0$.

5. Những lỗi cần tránh

• Lấy chỉ phương của $d$ làm chỉ phương của đường vuông góc với $d$.
• Chỉ kiểm tra $H\in d$ mà quên điều kiện vuông góc.
• Dùng $H-M$ thay vì $2H-M$ để tìm điểm đối xứng.
• Chia riêng cho một hệ số có thể bằng 0 hoặc gọi $MH$ là đường khi $M=H$.

6. Bài học liên quan và tài liệu

• Pháp tuyến và chỉ phương
• Tìm giao điểm hai đường
• Khoảng cách từ điểm đến đường

Mở tài liệu bài tập gốc trên Scribd. Bài viết đã có phần tự luyện kèm đáp án.

Hình của tài liệu cũ để đối chiếu: Hình 1 · Hình 2.