Góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

2016-03-29 huynhvietkhanh Đã xem: 6,348 Phản hồi: 0

Tính góc bằng pháp tuyến hoặc chỉ phương, xử lý đường đứng và các góc 0°, 90°; phân biệt góc đường với góc vectơ.

THPTHình học giải tích phẳng

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng được chọn từ 0° đến 90°. Có thể tính bằng hai pháp tuyến hoặc hai chỉ phương, nhưng phải chọn cùng loại vectơ và giữ dấu giá trị tuyệt đối.

Mục tiêu: tính góc, nhận biết vuông góc và dùng điều kiện hệ số góc đúng phạm vi.

Kiến thức cần biết: pháp tuyến và chỉ phương; tích vô hướng và góc giữa hai vectơ.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Phân biệt góc đường và góc vectơ

Hai vectơ khác $\vec0$ có góc $\theta\in[0^\circ;180^\circ]$, còn góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng thuộc $[0^\circ;90^\circ]$. Nếu chọn hai chỉ phương, ta có $\varphi=\min\{\theta,180^\circ-\theta\}$. Vì vậy hai góc bằng nhau hoặc bù nhau; không mặc định góc giữa hai đường luôn nhọn.

Hai đường song song hoặc trùng có góc $0^\circ$; hai đường vuông góc có góc $90^\circ$. Giá trị góc không tự phân biệt song song phân biệt với trùng, nên bài toán vị trí cần xét thêm điểm chung.

2. Công thức trong Oxy

Cho $d_1:a_1x+b_1y+c_1=0$, $d_2:a_2x+b_2y+c_2=0$, với $a_i^2+b_i^2>0$ cho $i=1,2$. Khi đó pháp tuyến $\vec n_i=(a_i;b_i)$ khác $\vec0$ và

$$\cos\varphi=\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$$

Có thể thay cả hai pháp tuyến bằng cả hai chỉ phương. Trong mặt phẳng, quay đồng thời hai pháp tuyến $90^\circ$ cho hai phương của hai đường, nên giữ góc giữa các phương. Không lấy một pháp tuyến và một chỉ phương rồi áp dụng công thức này cho góc hai đường.

Điều kiện vuông góc tương đương $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$, hoặc $\vec u_1\cdot\vec u_2=0$ với hai chỉ phương khác $\vec0$. Nếu cả hai đường đều có hệ số góc hữu hạn $k_1,k_2$, điều kiện còn tương đương $k_1k_2=-1$. Trường hợp đường đứng không có hệ số góc hữu hạn phải xét riêng; một đường đứng vuông góc một đường ngang.

Tính tích vô hướng và hai độ dài trước, rút gọn tỉ số rồi tìm góc trong đoạn quy định. Tỉ số phải thuộc $[0;1]$. Nếu cần gần đúng, để máy tính ở chế độ độ và chỉ làm tròn ở kết quả cuối.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Một đường đứng

Tính góc giữa $d_1:x-5=0$ và $d_2:2x+y-14=0$. Chọn pháp tuyến $(1;0)$ và $(2;1)$. Ta có

$$\cos\varphi=\frac{|1\cdot2+0\cdot1|}{1\cdot\sqrt5}=\frac2{\sqrt5}.$$

Vậy $\varphi=\arccos(2/\sqrt5)\approx26{,}565^\circ$, tức khoảng $26^\circ33^{\prime}54^{\prime\prime}$. Không dùng tích hai hệ số góc vì đường $d_1$ đứng.

Ví dụ 2. Kết hợp dạng tổng quát và tham số

Cho $d_1:2x+3y-2=0$ và $d_2:x=1+2t$, $y=-2+3t$, $t\in\mathbb R$. Đường $d_1$ có pháp tuyến $(2;3)$. Đường $d_2$ có chỉ phương $(2;3)$ nên có thể chọn pháp tuyến $(3;-2)$. Hai pháp tuyến có tích $2\cdot3+3(-2)=0$, do đó hai đường vuông góc.

Ví dụ 3. Góc ở hai đầu của miền giá trị

Hai đường $x=0$ và $x=2$ cùng có pháp tuyến $(1;0)$, nên cos bằng $1$ và góc bằng $0^\circ$. Hai đường $x=0$ và $y=2$ có pháp tuyến $(1;0)$, $(0;1)$, nên cos bằng $0$ và góc bằng $90^\circ$.

4. Bài tập tự luyện

Tính góc giữa $x+y-1=0$ và $x-y+2=0$.
Tính góc giữa $y=0$ và $y=x+1$.
Hai vectơ chỉ phương tạo góc $150^\circ$. Góc giữa hai đường tương ứng bằng bao nhiêu?

Mở đáp án và gợi ý

Tích hai pháp tuyến $(1;1)$, $(1;-1)$ bằng $0$, nên góc $90^\circ$.
Chọn chỉ phương $(1;0)$, $(1;1)$, được cos $1/\sqrt2$, nên góc $45^\circ$.
Lấy góc bù: $180^\circ-150^\circ=30^\circ$.

5. Những lỗi cần tránh

Bỏ trị tuyệt đối và nhận góc tù cho hai đường.
Dùng công thức hệ số góc cho đường đứng.
Chọn một pháp tuyến và một chỉ phương nhưng không đổi quan hệ góc.
Nhận một phương trình có hai hệ số $x,y$ cùng bằng $0$ là đường thẳng.

6. Bài học liên quan

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.