Hệ số góc và góc nghiêng của đường thẳng

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Hệ số góc mô tả độ dốc có dấu của một đường không thẳng đứng. Độ dốc âm phải được giữ lại; góc nghiêng tương ứng có thể lớn hơn 90 độ.

Trong bài: Kiến thức · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Góc nghiêng và hệ số góc

Chọn góc nghiêng $\alpha$ của đường theo quy ước từ chiều dương $Ox$, với $0^\circ\le\alpha<180^\circ$. Nếu $\alpha\ne90^\circ$, hệ số góc là $k=\tan\alpha$. Khi $k>0$ thì $0^\circ<\alpha<90^\circ$; khi $k<0$ thì $90^\circ<\alpha<180^\circ$; khi $k=0$ thì $\alpha=0^\circ$.

Đường thẳng đứng có $\alpha=90^\circ$, không có hệ số góc hữu hạn vì $\tan90^\circ$ không xác định. Không gán $k=0$ cho đường thẳng đứng; $k=0$ thuộc về đường ngang.

2. Công thức và cách đọc

• Từ $Ax+By+C=0$, nếu $B\ne0$ thì $k=-A/B$; nếu $B=0$ thì đường thẳng đứng.
• Từ chỉ phương $(u;v)$, nếu $u\ne0$ thì $k=v/u$; nếu $u=0$ thì đường thẳng đứng.
• Qua hai điểm phân biệt, nếu $x_B\ne x_A$ thì $k=(y_B-y_A)/(x_B-x_A)$. Nếu hoành độ bằng nhau, đường thẳng đứng.

Hai đường không thẳng đứng có cùng $k$ thì song song hoặc trùng; trong dạng $y=kx+b$, các tung độ gốc khác nhau cho song song phân biệt. Khi tìm góc từ $k<0$, giá trị chính của $\arctan k$ âm; cần cộng $180^\circ$ để góc nghiêng nằm trong khoảng đã quy ước.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hệ số góc bằng 1

Với $d:y=x+1$, ta có $k=1$, nên góc nghiêng là $45^\circ$. Hằng số 1 ở cuối là tung độ gốc, không phải một hệ số góc thứ hai.

Ví dụ 2. Đưa về dạng y=kx+b

Cho $2y-x+1=0$. Viết $y=\frac12x-\frac12$, suy ra $k=1/2$ và $\alpha=\arctan(1/2)\approx26{,}565^\circ$. Giá trị này thuộc khoảng $0^\circ$ đến $90^\circ$.

Ví dụ 3. Qua một điểm và biết hệ số góc

Qua $M(1;-1)$ và có $k=2$, đường cần tìm là $y+1=2(x-1)$, tức là $y=2x-3$. Thay $x=1$ cho $y=-1$, đúng điểm đã cho.

Ví dụ 4. Hệ số góc âm

Với $y=-x+2$, ta có $k=-1$. Góc nghiêng là $135^\circ$, vì $\tan135^\circ=-1$. Giá trị $-45^\circ$ cùng tang nhưng không thuộc khoảng quy ước; góc nhọn giữa đường này và trục $Ox$ là $45^\circ$, khác với góc nghiêng.

4. Bài tập tự luyện

1. Tìm hệ số góc và góc nghiêng của $x+y-3=0$.
2. Viết đường qua $(2;1)$ có hệ số góc 0.
3. Đường qua $(1;-2)$ và $(1;4)$ có hệ số góc không? Viết phương trình của nó.

5. Những lỗi cần tránh

• Giới hạn góc nghiêng trong 0–90 độ, làm mất các đường có độ dốc âm.
• Nhầm góc nghiêng với góc không vượt quá 90 độ giữa hai đường.
• Chia cho hiệu hoành độ 0 hoặc hệ số $B=0$.
• Chỉ từ cùng hệ số góc suy ra hai đường trùng nhau.

6. Bài học liên quan và tài liệu

• Phương trình tham số
• Phương trình tổng quát
• Vị trí tương đối hai đường
• Góc giữa hai đường thẳng

Mở tài liệu bài tập gốc trên Scribd. Bài viết đã có phần tự luyện kèm đáp án.

Hình của tài liệu cũ để đối chiếu: Hình 1 · Hình 2.