Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

Một vài tính chất quan trọng của môđun và argument. 

Nhắc lại rằng số phức $ z = a + bi $ được biểu diễn bởi điểm $M\left( {a;b} \right)$ trong mặt phẳng phức $Oxy$. Mô-đun hay còn gọi là độ lớn của $z$ là đại lượng $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $, và đây cũng chính là độ dài của vector $\overrightarrow {OM} $. Góc hợp bởi $\overrightarrow {OM} $ và chiều dương của trục $Ox$ được gọi là argument của $z$, ký hiệu $\arg \left( z \right)$.
 
$\left( a \right)$ Vì số phức $ z = a + bi $ và liên hợp của nó là ${\bar z} = a - bi$ được biểu diễn bởi hai điểm $M\left( {a;b} \right)$ và $M'\left( {a;-b} \right)$ đối xứng nhau qua trục thực $Ox$ nên ta có  $$\left| z \right| = \left| {\bar z} \right|;\;\;\;\;\arg \left( {\bar z} \right) =  - \arg \left( z \right).$$


 

Ví dụ 1. Số phức $z = 1 + \sqrt 3 i$ và liên hợp của nó là $\bar z = 1 - \sqrt 3 i$ lần lượt được biểu diễn bởi $M$ và điểm $M'$. Ta cũng có $$ \begin{gathered}   \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\sqrt 3 }^2}}  = 2 = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {\bar z} \right|. \\   \arg \left( z \right) = \alpha  = {60^o};\;\;\; \arg \left( {\bar z} \right) =  - \alpha  =  - {60^o}. \\ \end{gathered} $$ Dạng lượng giác là $$\begin{gathered}   z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right). \hfill \\   \bar z = 1 - \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} - i\sin {{60}^o}} \right) = 2\left[ {\cos \left( { - {{60}^o}} \right) + i\sin \left( { - {{60}^o}} \right)} \right]. \hfill \\ \end{gathered} $$
$\left( b \right)$ Với hai số phức ${z_1} = {r_1}\left( {\cos {\alpha _1} + i\sin {\alpha _1}} \right)$ và ${z_2} = {r_2}\left( {\cos {\alpha _2} + i\sin {\alpha _2}} \right)$ ta có $$\left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right|;\;\;\;\; \;\;\;\; \arg \left( {{z_1} \cdot {z_2}} \right) = \arg \left( {{z_1}} \right) + \arg \left( {{z_2}} \right).$$
Ví dụ 2. Xét hai số phức ${z_1} = \sqrt 3  - i$ và ${z_2} = 1 + \sqrt 3 i$. Ta kiểm chứng tính chất $\left( b \right)$ cho hai số phức này. Dạng lượng giác của hai số phức này như sau $$\eqalign{   & {z_1} = \sqrt 3  - i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right) = 2\left[ {\cos \left( { - {{30}^o}} \right) + i\sin \left( { - {{30}^o}} \right)} \right]  \cr   & {z_2} = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right). \cr} $$ Như vậy $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2$ và $\arg \left( {{z_1}} \right) =  - {30^o},\arg \left( {{z_2}} \right) = {60^o}.$ Với lưu ý $ i^2 = -1$ ta có $$\eqalign{   & {z_1} \cdot {z_2} = 2\left[ {\cos \left( { - {{30}^o}} \right) + i\sin \left( { - {{30}^o}} \right)} \right] \cdot 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right)  \cr   &  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 4\left\{ {\left[ {\cos {{60}^o}\cos \left( { - {{30}^o}} \right) - \sin \left( { - {{30}^o}} \right)\sin {{60}^o}} \right] + \left[ {\sin {{60}^o}\cos \left( { - {{30}^o}} \right) + \cos {{60}^o}\sin \left( { - {{30}^o}} \right)} \right]i} \right\}  \cr   &  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 4\left[ {\cos \left( {{{60}^o} - {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {{{60}^o} - {{30}^o}} \right)} \right]  \cr   & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 4\left( {\cos {{30}^0} + i\sin {{30}^o}} \right). \cr} $$ Rõ ràng $\left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = 4 = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right|;\;\;\;\arg \left( {{z_1} \cdot {z_2}} \right) = {30^o} = \arg \left( {{z_1}} \right) + \arg \left( {{z_2}} \right).$

Hoặc một cách khác là thao tác trực tiếp trên dạng đại số của $z_1$ và $z_2$ như sau $${z_1} \cdot {z_2} = \left( {\sqrt 3  - i} \right)\left( {1 + \sqrt 3 i} \right) = 2\sqrt 3  + 2i = 4\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 4\left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right).$$

Một hệ quả quan trọng của tính chất $\left( b \right)$ là $$\left| {{z^n}} \right| = {\left| z \right|^n};\;\;\;\;\arg \left( {{z^n}} \right) = n\arg z.$$
 
Ví dụ 3. Xét số phức  ${z} = \sqrt 3  + i$. Dạng lượng giác của nó là $$z = \sqrt 3  + i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right).$$ Ta có $$\eqalign{   & {z^2} = {2^2}\left[ {\cos \left( {2 \cdot {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {2 \cdot {{30}^o}} \right)} \right] = 4\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right) = 2 + 2\sqrt 3 i;  \cr   & {z^3} = {2^3}\left[ {\cos \left( {3 \cdot {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {3 \cdot {{30}^o}} \right)} \right] = 8\left( {\cos {{90}^o} + i\sin {{90}^o}} \right) = 8i;  \cr   & {z^4} = {2^4}\left[ {\cos \left( {4 \cdot {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {4 \cdot {{30}^o}} \right)} \right] = 16\left( {\cos {{120}^o} + i\sin {{120}^o}} \right) = -8 + 8\sqrt 3 i. \cr} $$
Hệ quả trên có ứng dụng mạnh trong chuyện xây dựng công thức tìm căn của số phức. Học sinh xem vấn đề này ở đây.

Công thức Euler cho số phức. Người ta chứng minh được rằng với mọi số thực $ \varphi $ ta có $${e^{\varphi i}} = \cos \varphi  + i\sin \varphi, $$ trong đó $e = \lim {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} \approx 2,71828...$ còn gọi là hằng số Euler. Từ công thức này, dùng quy tắc tính luỹ thừa ta có $${\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^n} = {\left( {{e^{\varphi i}}} \right)^n} = {e^{n\varphi i}} = \cos n\varphi  + i\sin n\varphi .$$ Và công thức $${\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^n} = \cos n\varphi  + i\sin n\varphi $$ được gọi là công thức Moivre.


Ví dụ 4. Số phức ${z_2} = 1 + \sqrt 3 i$ được chuyển đổi về dạng Euler như sau $$z = \sqrt 3  + i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right) = 2 \cdot {e^{i \cdot {{30}^o}}}.$$ Từ đây, ta có $$\eqalign{   & {z^2} = {\left( {2{e^{i \cdot 30}}} \right)^2} = 4{e^{i \cdot 60}} = 4\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right) = 2 + 2\sqrt 3 i;  \cr   & {z^3} = {\left( {2{e^{i \cdot 30}}} \right)^3} = 8{e^{i \cdot 90}} = 8\left( {\cos {{90}^o} + i\sin {{90}^o}} \right) = 8i;  \cr   & {z^4} = {\left( {2{e^{i \cdot 30}}} \right)^4} = 16{e^{i \cdot 120}} = 16\left( {\cos {{120}^o} + i\sin {{120}^o}} \right) = 8 + 8\sqrt 3 i. \cr} $$