Tích phân chứa trị tuyệt đối: xét dấu và chia khoảng

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Trị tuyệt đối biến mỗi giá trị của hàm số thành một số không âm. Vì vậy, khi tính tích phân chứa trị tuyệt đối, phải xét dấu trên khoảng lấy tích phân trước khi chọn nguyên hàm.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Dấu của hàm quyết định cách bỏ trị tuyệt đối

Với mọi số thực $u$, $|u|=u$ nếu $u\ge0$ và $|u|=-u$ nếu $u<0$. Áp dụng tại từng điểm $x$, ta có

Giả sử $a<b$ và $f$ liên tục trên $[a;b]$. Khi ấy $|f|$ liên tục, nên tích phân tồn tại và không âm. Nếu $f$ không đồng nhất bằng $0$, tính liên tục còn bảo đảm tích phân dương: quanh một điểm mà $|f|>0$, hàm có một cận dưới dương trên một đoạn nhỏ.

2. Chia khoảng và kiểm tra dấu

1. Tìm nghiệm của $f(x)=0$ trong $[a;b]$ và xác định dấu trên từng khoảng giữa các nghiệm. Chỉ nghiệm nằm trong đoạn mới tạo mốc cần xét.
2. Dùng tính cộng theo khoảng để chia tích phân. Trên phần $f\ge0$, giữ $f$; trên phần $f\le0$, thay bằng $-f$.
3. Tính từng tích phân rồi cộng. Mọi phần đều không âm khi các cận viết theo chiều tăng.

Nếu tồn tại một phân hoạch hữu hạn $a=t_0<t_1<\cdots<t_m=b$ mà $f$ giữ dấu trên mỗi đoạn nhỏ, thì

trong đó chọn $\varepsilon_j$ để $\varepsilon_j f\ge0$ trên đoạn tương ứng. Một nghiệm không đổi dấu không buộc phải tách khoảng; tách thêm tại đó vẫn đúng. Phương pháp hữu hạn này áp dụng trực tiếp cho các ví dụ dưới đây; một hàm liên tục tổng quát có thể có vô số nghiệm nên không mặc định luôn có hữu hạn mốc.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hàm bậc nhất đổi dấu một lần

Tính $I=\int_0^2|x-1|\,dx$. Trên $[0;1]$, $x-1\le0$; trên $[1;2]$, $x-1\ge0$. Do đó

Ở tích phân thứ hai, giá trị nguyên hàm tại $2$ bằng $0$, tại $1$ bằng $-1/2$, nên hiệu là $1/2$. Hai phần tương ứng hai tam giác có đáy và chiều cao đều bằng $1$, cũng xác nhận kết quả.

Ví dụ 2. Dùng tính chẵn sau khi xét dấu

Tính $J=\int_{-2}^2|x^2-1|\,dx$. Hàm dưới dấu tích phân chẵn. Trên $[0;1]$ dùng $1-x^2$ và trên $[1;2]$ dùng $x^2-1$, nên

Tính chẵn giúp giảm số khoảng phải tính, nhưng không thay thế việc xét dấu. Ngược lại, tích phân có dấu $\int_{-2}^2(x^2-1)\,dx=4/3$ nhỏ hơn $4$ vì có sự triệt tiêu giữa phần dương và phần âm.

Ví dụ 3. Hàm lượng giác

Trên $[0;\pi/2]$, $\cos x\ge0$; trên $[\pi/2;\pi]$, $\cos x\le0$. Vì vậy

4. Bài tập tự luyện

1. Tính $\int_{-1}^1|x|\,dx$.
2. Tính $\int_0^3|2x-2|\,dx$.
3. Tính $\int_{-2}^2|x^2|\,dx$. Có cần tách tại $0$ không?

5. Những lỗi cần tránh

• Cho rằng $\int_a^b|f|=|\int_a^b f|$. Ví dụ 1 có hai vế lần lượt là $1$ và $0$.
• Thay $|f|$ bằng một công thức duy nhất dù $f$ đổi dấu trong đoạn.
• Trừ hai phần diện tích thay vì cộng chúng.
• Quên rằng đổi thứ tự hai cận làm đổi dấu: tính không âm ở trên dùng giả thiết $a<b$.

6. Bài học liên quan

• Tích phân xác định
• Nguyên hàm của một số hàm số cơ bản
• Tích phân theo phương pháp đổi biến

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.