Nguyên hàm cơ bản: công thức, miền xác định và hằng số C

2016-02-08 huynhvietkhanh Đã xem: 4,337 Phản hồi: 0

Hiểu định nghĩa nguyên hàm và dùng mười công thức cơ bản với đúng điều kiện; kiểm tra kết quả bằng cách lấy đạo hàm.

THPTTích phân

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Tìm nguyên hàm là tìm một hàm có đạo hàm bằng hàm đã cho trên một khoảng. Vì đạo hàm của hằng số bằng không, câu trả lời thường là cả một họ hàm; miền xác định quyết định hằng số nào có thể dùng chung.

Mục tiêu: hiểu nguyên hàm trên một khoảng; dùng mười công thức cơ bản; giữ điều kiện lũy thừa, logarit, lượng giác và kiểm bằng đạo hàm.

Kiến thức cần biết: đạo hàm cơ bản và các quy tắc tổng, tích, hàm hợp.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Định nghĩa và vai trò của khoảng

Cho $f$ xác định trên khoảng $I$. Hàm $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $I$ nếu $F$ khả vi và $F^{\prime}(x)=f(x)$ với mọi $x\in I$. Ký hiệu $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ biểu diễn họ các nguyên hàm, trong đó $C$ là hằng số thực.

Nếu $F,G$ là hai nguyên hàm trên cùng một khoảng, thì $(F-G)^{\prime}=0$. Theo định lý giá trị trung bình, $F-G$ là hằng số trên khoảng ấy. Vì thế họ $F+C$ bao quát mọi nguyên hàm trên khoảng, chứ không chỉ tạo ra một vài ví dụ.

Giả thiết khoảng quan trọng: trên miền $\mathbb R\setminus\{0\}$, nguyên hàm của $1/x$ có thể dùng hằng số $C_-$ khi $x<0$ và một hằng số độc lập $C_+$ khi $x>0$. Công thức với một $C$ được hiểu trên từng khoảng thuộc miền xác định.

Ví dụ: $\sin x$ là nguyên hàm của $\cos x$ trên $\mathbb R$ vì $(\sin x)^{\prime}=\cos x$. Do đó mọi nguyên hàm của cos trên $\mathbb R$ có dạng $\sin x+C$. Các hàm lượng giác trong bài dùng radian.

2. Mười công thức và điều kiện

$$\begin{aligned}\int0\,dx&=C,\\\int k\,dx&=kx+C,\\\int x^\alpha\,dx&=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\quad(\alpha\ne-1),\\\int\frac{dx}{x}&=\ln|x|+C.\end{aligned}$$

Trong công thức lũy thừa với số mũ thực tùy ý, miền an toàn là $x>0$. Có thể dùng trên các khoảng khác nếu lũy thừa thực liên quan xác định và có quy tắc đạo hàm tương ứng; chẳng hạn số mũ nguyên dùng được cả trên các khoảng âm. Không chia cho $\alpha+1$ khi $\alpha=-1$; lúc ấy dùng dòng logarit với $x\ne0$.

$$\begin{aligned}\int e^x\,dx&=e^x+C,\\\int a^x\,dx&=\frac{a^x}{\ln a}+C\quad(a>0,\ a\ne1),\\\int\sin x\,dx&=-\cos x+C,\\\int\cos x\,dx&=\sin x+C.\end{aligned}$$

Với $a=1$, hàm $a^x$ là hằng số $1$, nên nguyên hàm là $x+C$, không dùng mẫu $\ln a=0$. Công thức của $e^x$ chứa chính $e^x$; một hằng số riêng lẻ không có đạo hàm bằng $e^x$.

$$\begin{aligned}\int(1+\tan^2x)\,dx=\int\frac{dx}{\cos^2x}&=\tan x+C,\\\int(1+\cot^2x)\,dx=\int\frac{dx}{\sin^2x}&=-\cot x+C.\end{aligned}$$

Dòng tan dùng trên từng khoảng không chứa điểm $\cos x=0$; dòng cot tương tự với $\sin x\ne0$. Không viết công thức xuyên qua điểm hàm dưới dấu tích phân không xác định. Tính tuyến tính cho phép lấy nguyên hàm từng số hạng rồi cộng; sau cùng chỉ cần một hằng số chung trên khoảng đang xét.

Các công thức cơ bản không tự chứa hệ số của hàm bên trong. Chẳng hạn nguyên hàm của $\cos(2x)$ là $\sin(2x)/2+C$, vì quy tắc hàm hợp tạo thêm hệ số $2$ khi đạo hàm. Nếu chưa nhận ra, hãy đạo hàm đáp án để kiểm.

3. Ví dụ kiểm bằng đạo hàm

Ví dụ 1. Nguyên hàm của cos

Vì $(\sin x+C)^{\prime}=\cos x$ với mọi $x$ thực, có $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ trên $\mathbb R$. Không đặt dấu trừ ở đây; dấu trừ thuộc công thức nguyên hàm của sin.

Ví dụ bổ sung 2. Tổng ba hàm cơ bản

$$\int(e^x+3x^2-4\cos x)\,dx=e^x+x^3-4\sin x+C.$$

Đạo hàm vế phải lần lượt là $e^x$, $3x^2$, $-4\cos x$. Tổng đúng với hàm dưới dấu tích phân trên toàn $\mathbb R$.

Ví dụ bổ sung 3. Logarit trên khoảng âm

Trên $(-\infty;0)$, xét $F(x)=\ln(-x)$. Quy tắc hàm hợp cho $F^{\prime}(x)=(-1)/(-x)=1/x$. Vì $\ln(-x)=\ln|x|$ ở đây, công thức logarit vẫn đúng; không dùng $\ln x$ trên miền âm.

4. Bài tập tự luyện

Tìm nguyên hàm của $2x+3$ trên $\mathbb R$.
Tìm nguyên hàm của $\cos(3x)$ trên $\mathbb R$.
Tìm nguyên hàm của $1/x^2$ trên $(0;+\infty)$ và kiểm lại.

Mở gợi ý và đáp án

$x^2+3x+C$; đạo hàm bằng $2x+3$.
$\sin(3x)/3+C$; đạo hàm của sin tạo hệ số $3$ rồi triệt tiêu với $1/3$.
$-1/x+C$; đạo hàm $x^{-2}=1/x^2$. Số mũ $\alpha=-2$ thỏa $\alpha\ne-1$.

5. Những lỗi cần tránh

Không bỏ hằng số của họ nguyên hàm. Không dùng công thức lũy thừa tại số mũ−1. Không bỏ giá trị tuyệt đối của logarit khi khoảng có số âm. Giữ radian và kiểm các điểm sin, cos bằng không; đạo hàm lại đáp án trên đúng miền.

Nguyên hàm cơ bản: công thức, miền xác định và hằng số C

1. Định nghĩa và vai trò của khoảng

2. Mười công thức và điều kiện

3. Ví dụ kiểm bằng đạo hàm

Ví dụ 1. Nguyên hàm của cos

Ví dụ bổ sung 2. Tổng ba hàm cơ bản

Ví dụ bổ sung 3. Logarit trên khoảng âm

4. Bài tập tự luyện

5. Những lỗi cần tránh

6. Bài học liên quan

7. Video và tài liệu tham khảo

Để lại một bình luận Hủy

1. Định nghĩa và vai trò của khoảng

2. Mười công thức và điều kiện

3. Ví dụ kiểm bằng đạo hàm

Ví dụ 1. Nguyên hàm của cos

Ví dụ bổ sung 2. Tổng ba hàm cơ bản

Ví dụ bổ sung 3. Logarit trên khoảng âm

4. Bài tập tự luyện

5. Những lỗi cần tránh

6. Bài học liên quan

7. Video và tài liệu tham khảo

Để lại một bình luận Hủy

Bài viết cùng chuyên mục mới hơn