Tích phân xác định: Newton–Leibniz và diện tích có dấu
Tính tích phân bằng hiệu giá trị nguyên hàm, giữ đúng thứ tự cận và phân biệt tích phân có dấu với diện tích hình phẳng.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Tích phân không xác định biểu diễn một họ nguyên hàm, còn tích phân xác định là một số. Công thức Newton–Leibniz nối hai khái niệm bằng hiệu giá trị tại hai cận; dấu của hiệu ấy còn phụ thuộc vào hướng cận và dấu của hàm.
Mục tiêu: dùng công thức với đủ giả thiết; thay cận trên trừ cận dưới; tính diện tích khi đồ thị đổi dấu.
Kiến thức cần biết: nguyên hàm cơ bản, tính liên tục và dấu của hàm số.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Tích phân và công thức Newton–Leibniz
Cho $a<b$ và $f$ liên tục trên $[a;b]$. Với một phân hoạch $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$, đặt $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ và chọn $\xi_i\in[x_{i-1};x_i]$. Tích phân xác định là giới hạn các tổng Riemann $\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$ khi độ dài lớn nhất của các đoạn chia tiến về $0$. Mỗi số hạng ghi phần đóng góp có dấu trên một đoạn nhỏ; tính liên tục bảo đảm giới hạn không phụ thuộc cách chọn điểm và chia đoạn.
Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên một khoảng chứa $[a;b]$, thì công thức Newton–Leibniz là
Trong bài dùng giả thiết liên tục để áp dụng trực tiếp; đây là điều kiện đủ thuận tiện, không phải khẳng định mọi hàm gián đoạn đều không tích phân được. Ký hiệu trong ngoặc là $F(x)$, sau đó mới thay $b$ và $a$. Nếu đổi nguyên hàm thành $F+C$, hằng số tự triệt tiêu trong hiệu.
Quy ước $\int_a^a f(x)\,dx=0$ và $\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$. Vì thế cận trên nhỏ hơn cận dưới vẫn có nghĩa. Không tự đổi thứ tự cận rồi giữ nguyên dấu.
2. Từ phép tính đến diện tích
Tìm một nguyên hàm trên khoảng thích hợp, kiểm bằng đạo hàm, rồi thay cận. Tích phân tuyến tính và có tính cộng đoạn: nếu $a<c<b$, thì tích phân trên $[a;b]$ bằng tổng hai tích phân trên $[a;c]$ và $[c;b]$. Hai tính chất này cho phép tách biểu thức và tách miền khi cần.
Với $a<b$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường $x=a,x=b$ là
Nếu $f\ge0$ trên đoạn, $S$ bằng tích phân của $f$. Nếu $f\le0$, $S$ bằng đối của tích phân. Khi hàm giữ một dấu, có thể viết $S=|\int_a^b f(x)\,dx|$. Khi hàm đổi dấu, các phần tích phân có thể triệt tiêu nhưng diện tích cộng lại; công thức giá trị tuyệt đối của toàn tích phân không còn đúng nói chung.
Nếu có hữu hạn điểm đổi dấu đã biết, chia đoạn tại các điểm ấy rồi cộng diện tích từng phần. Đồng thời kiểm hàm liên tục trên đoạn đang tính; không đi qua một cực của hàm phân thức như thể đây là tích phân xác định thông thường.
3. Ví dụ và phép kiểm dấu
Ví dụ 1. Cos trên một phần tư vòng tròn
Cos không âm trên đoạn nên kết quả cũng là diện tích dưới đồ thị. Các góc dùng radian, phù hợp công thức đạo hàm.
Ví dụ 2. Tích phân của hàm bình phương
Biểu thức $x^2/2$ có đạo hàm $x$, không phải $x^2$. Vì vậy cần kiểm đạo hàm của nguyên hàm đã chọn bằng $x^2$ trước khi thay cận.
Ví dụ bổ sung 3. Tích phân bằng không nhưng diện tích dương
Với $f(x)=x$ trên $[-1;1]$, tích phân bằng $[x^2/2]_{-1}^1=0$. Diện tích cần chia tại $0$: phần trái bằng $1/2$, phần phải cũng bằng $1/2$, nên $S=1$. Vì vậy giá trị tuyệt đối của tích phân là $0$ không thể thay diện tích trong ví dụ đổi dấu này.
4. Bài tập tự luyện
- Tính $\int_1^2(2x-1)\,dx$.
- Tính $\int_1^0x^2\,dx$.
- Tính tích phân của $f=-2$ trên $[0;3]$ và diện tích giữa đồ thị với trục hoành.
Mở gợi ý và đáp án
- $[x^2-x]_1^2=(4-2)-(1-1)=2$.
- Đảo cận đổi dấu, nên bằng $-1/3$.
- Tích phân $[-2x]_0^3=-6$, còn diện tích bằng $6$ vì hàm không dương trên đoạn.
5. Những lỗi cần tránh
Không thêm C vào số cuối của tích phân xác định. Không lấy cận dưới trừ cận trên. Không dùng nguyên hàm chưa kiểm đạo hàm. Không đồng nhất diện tích với giá trị tuyệt đối của cả tích phân khi hàm đổi dấu; giữ điều kiện liên tục hoặc kiểm loại tích phân riêng.
6. Bài học liên quan
- Nguyên hàm của một số hàm số cơ bản
- Tích phân theo phương pháp đổi biến
- Tích phân từng phần
- Tích phân hàm hữu tỷ
Để lại một bình luận