Xác suất cổ điển: đếm đúng trong mô hình đồng khả năng

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Tỉ số số kết quả thuận lợi trên tổng số kết quả chỉ là công thức xác suất khi các kết quả trong mô hình được chọn đồng khả năng. Vì vậy cần xác định cách rút hoặc cách tung trước khi đếm.

Mục tiêu: kiểm mô hình đồng khả năng, lập số kết quả và số thuận lợi; phân biệt kết quả có thứ tự với nhóm không thứ tự.

Kiến thức cần biết: không gian mẫu, biến cố và tổ hợp.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Giả thiết của công thức cổ điển

Giả sử $\Omega$ hữu hạn, khác rỗng, và mọi kết quả có cùng xác suất. Khi ấy với biến cố $A\subseteq\Omega$,

Kết quả thuận lợi là phần tử của $A$. Vì mỗi kết quả có xác suất $1/|\Omega|$, cộng các xác suất ấy cho công thức. Nếu các kết quả không đồng khả năng, cần dùng tổng các trọng số xác suất, không dùng tỉ số số phần tử một cách tự động.

Từ $0\le|A|\le|\Omega|$ suy ra $0\le P(A)\le1$. Biến cố không thể có $P(\varnothing)=0$ và biến cố chắc chắn có $P(\Omega)=1$. Đây là ba tính chất cơ bản; trong mô hình hữu hạn đồng đều, chúng theo trực tiếp từ phép đếm.

2. Chọn cách đếm nhất quán

Một xúc xắc cân đối sáu mặt cho sáu kết quả đồng khả năng. Với hộp bi, xem từng viên là một vật phân biệt dù cùng màu. Khi chọn đều một nhóm 3 viên từ 10 viên, không hoàn lại và không xét thứ tự, không gian mẫu có $\binom{10}{3}$ phần tử.

Nếu rút lần lượt, phải dùng các bộ có thứ tự ở cả tử và mẫu. Mỗi nhóm 3 viên phân biệt có đúng $3!$ thứ tự, nên hai cách cho cùng xác suất khi phép rút lần lượt là đều, không hoàn lại. Không đếm màu sắc như thể các kiểu màu đều có xác suất bằng nhau.

Muốn có đúng 2 bi đỏ và 1 bi trắng, chọn 2 viên trong nhóm đỏ rồi 1 viên trong nhóm trắng. Hai lựa chọn xác định duy nhất một nhóm thuận lợi; vì vậy dùng tích hai số tổ hợp. Trước khi rút gọn phân số, kiểm rằng tử không vượt mẫu và kết quả nằm trong $[0;1]$.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Xúc xắc cân đối

Tung một xúc xắc cân đối sáu mặt. Có $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. Biến cố $A$ xuất hiện số chẵn có 3 kết quả; $B$ xuất hiện số chấm không quá 4 có 4 kết quả. Biến cố $C$ có ít nhất 1 chấm là $\Omega$, còn $D$ có ít nhất 7 chấm là rỗng. Do đó

Việc đếm sáu mặt là mẫu số đúng nhờ giả thiết cân đối, không chỉ vì xúc xắc có sáu mặt. Một xúc xắc lệch vẫn có cùng các kết quả nhưng có thể có xác suất khác.

Ví dụ 2. Rút đúng hai đỏ, một trắng

Hộp có 10 bi, gồm 6 đỏ và 4 trắng. Chọn ngẫu nhiên đều 3 viên, không hoàn lại. Với $A$ là có đúng 2 đỏ,1 trắng, số kết quả là $\binom{10}{3}=120$, số thuận lợi là $\binom62\binom41=15\cdot4=60$. Vì vậy

Không dùng $2/3$ làm xác suất chỉ vì cần 2 đỏ trong 3 viên. Tử số phải đếm các nhóm cụ thể; tỉ lệ đỏ trong nhóm cần tìm không phải xác suất của biến cố chọn được nhóm ấy.

Ví dụ 3. Kiểm lại bằng rút lần lượt

Vẫn hộp trên, xét thứ tự đỏ–đỏ–trắng. Xác suất là $(6/10)(5/9)(4/8)=1/6$. Có ba vị trí cho viên trắng và các trường hợp đó xung khắc, cùng xác suất $1/6$. Tổng là $1/2$, khớp phép đếm tổ hợp. Các mẫu 9 và 8 phản ánh việc không hoàn lại, không phải ba lần rút độc lập.

4. Tự luyện

1. Với xúc xắc cân đối, tính xác suất xuất hiện số lớn hơn 4.
2. Với hộp 6 đỏ 4 trắng, chọn đều 3 viên không hoàn lại, tính xác suất cả 3 đều trắng.
3. Có thể xem bốn kiểu “0,1,2,3 bi đỏ” là bốn kết quả đồng khả năng của bài hộp bi không?

5. Những lỗi cần tránh

Không bỏ giả thiết đồng khả năng. Không trộn nhóm không thứ tự ở tử với bộ có thứ tự ở mẫu. Không xem các mẫu màu là đều nhau. Với bài rút bi, ghi rõ hoàn lại hay không, vì chúng dẫn đến hai mô hình khác nhau.

6. Học tiếp

Phép thử và biến cố · Chỉnh hợp và Tổ Hợp · Xác suất có điều kiện · Công thức cộng xác suất.

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.