Hoán vị và hoán vị tròn: phân biệt vị trí xếp

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Hoán vị đếm cách sắp xếp toàn bộ các phần tử phân biệt. Khi xếp quanh vòng tròn, kết quả phụ thuộc vào việc các vị trí có được phân biệt hay các cách chỉ khác nhau bởi phép quay được xem là một.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Hoán vị của các phần tử phân biệt

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử phân biệt, với $n\ge1$. Một hoán vị là một danh sách có thứ tự chứa mỗi phần tử của $A$ đúng một lần. Ký hiệu số hoán vị là $P_n$.

Có $n$ cách chọn phần tử đầu, $n-1$ cách chọn phần tử thứ hai, và tiếp tục cho đến vị trí cuối có $1$ cách. Theo quy tắc nhân,

Vì mỗi danh sách xác định duy nhất các lựa chọn theo vị trí, phép đếm không trùng và không sót. Với tập rỗng, có đúng một danh sách rỗng; quy ước $0!=1$ tương ứng với trường hợp này. Nếu một số vật được xem là giống nhau thì giả thiết phân biệt không còn đúng và không dùng ngay $n!$.

2. Khi nào dùng hoán vị tròn?

Trong hoán vị tròn, các cách sắp xếp chỉ khác nhau bởi phép quay cả vòng được xem là một. Chọn một chiều đọc cố định quanh vòng; phép phản chiếu đổi chiều thứ tự không được đồng nhất. Không có ghế đánh số hay vị trí bên ngoài nào được dùng để phân biệt một chỗ ngồi.

Cố định một người cụ thể $A$ làm mốc. Mỗi thứ tự tròn có đúng một cách viết bắt đầu từ $A$ theo chiều đã chọn; sau đó $n-1$ người còn lại được sắp theo một thứ tự. Vì thế, với $n\ge1$, số hoán vị tròn là

Lập luận này cũng đúng với $n=1$, cho $0!=1$. Nếu ghế có nhãn hoặc vị trí được phân biệt, hai cách đưa $A$ sang hai ghế khác nhau là hai kết quả khác nhau; khi ấy có $n!$ cách, dù ghế đặt theo hình tròn. “Ghế giống nhau” chỉ dẫn đến công thức tròn khi đề còn đồng nhất các cách quay toàn vòng.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Ba người ngồi hàng ngang và quanh vòng

Ba bạn $A,B,C$ ngồi vào ba vị trí hàng ngang có $3!=6$ cách. Đọc từ trái sang phải, đó là

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Nếu ba ghế cách đều quanh một vòng và các cách quay toàn vòng được xem là một, quay $120^\circ$ theo chiều kim đồng hồ không tạo thứ tự tròn mới. Sáu danh sách trên được gộp thành hai nhóm quay: $ABC,BCA,CAB$ và $ACB,CBA,BAC$.

Cố định $A$ làm điểm bắt đầu và đọc theo chiều kim đồng hồ, hai đại diện là $ABC$ và $ACB$. Đó là $2!=(3-1)!=2$ cách. Hai thứ tự đọc ngược chiều không được tự động gộp lại bằng phản chiếu.

Ví dụ 2. Bốn người, chỉ phân biệt thứ tự quanh bàn

Xếp $A,B,C,D$ quanh bốn ghế không đánh số, theo quy ước các cách quay là một. Cố định $A$, rồi sắp $B,C,D$ theo chiều kim đồng hồ. Có $3!=6$ cách. Việc cố định $A$ chỉ chọn một đại diện cho mỗi thứ tự tròn, không thêm một ghế có nhãn vào bài toán.

Ví dụ 3. Bốn ghế có số

Vẫn bốn người trên nhưng ghế đánh số từ $1$ đến $4$. Xếp $A$ ở ghế $1$ khác với xếp $A$ ở ghế $2$. Chọn người cho lần lượt các ghế $1,2,3,4$ có $4,3,2,1$ cách, nên tổng là

Có thể kiểm tra bằng cách lấy $6$ thứ tự tròn của ví dụ 2, rồi chọn một trong $4$ ghế để đặt $A$: $6\cdot4=24$. Phép đặt này xác định duy nhất chỗ ngồi của ba người còn lại theo thứ tự đã chọn.

4. Bài tập tự luyện

1. Xếp $5$ học sinh phân biệt vào $5$ ghế theo một hàng có bao nhiêu cách?
2. Xếp $5$ người quanh bàn tròn, đồng nhất các cách quay và phân biệt hai chiều thứ tự. Có bao nhiêu cách?
3. Xếp $5$ người phân biệt thành một hàng, trong đó $A,B$ đứng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách?

5. Những lỗi cần tránh

• Thấy bàn hình tròn là dùng $(n-1)!$ mà chưa xét ghế có nhãn hay không.
• Chia thêm cho $2$ dù đề vẫn phân biệt hai chiều thứ tự.
• Dùng $n!$ khi chỉ chọn một phần trong $n$ phần tử.
• Quên giả thiết các phần tử phân biệt hoặc cho phép một người xuất hiện nhiều lần.

6. Bài học liên quan

• Quy tắc cộng và quy tắc nhân
• Chỉnh hợp và tổ hợp
• Nhị thức Newton

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.