Vận dụng lớp 12: đối xứng điểm qua mặt phẳng Oxyz
Tìm điểm đối xứng qua mặt phẳng bằng hình chiếu và công thức trung điểm: giải thích phương pháp, ba ví dụ có lời giải và bốn bài tự luyện có đáp án.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Để tìm điểm đối xứng của $M$ qua một mặt phẳng, trước hết ta tìm hình chiếu vuông góc $H$ của $M$ lên mặt phẳng đó. Điểm đối xứng $M'$ được xác định bởi điều kiện $H$ là trung điểm của $MM'$.
Mục tiêu: tìm được tọa độ điểm đối xứng qua mặt phẳng; kiểm tra được điều kiện trung điểm và phương vuông góc; xử lý được trường hợp điểm nằm trên mặt phẳng.
Kiến thức cần biết: vectơ pháp tuyến, hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng và công thức tọa độ trung điểm.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Video · Tự luyện
1. Từ hình chiếu đến điểm đối xứng
Giả sử $M\notin(P)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$. Trên đường thẳng $MH$, lấy $M'$ ở phía đối diện với $M$ qua $H$ sao cho $HM'=HM$. Khi đó $M'$ là điểm đối xứng của $M$ qua $(P)$.
Hai điều kiện phải được dùng cùng nhau: $H$ là trung điểm của $MM'$ và đường thẳng $MM'$ vuông góc với $(P)$. Chỉ chọn một điểm nằm ở phía bên kia mặt phẳng thì chưa xác định được điểm đối xứng.
Nếu $M\in(P)$ thì điểm đối xứng là chính $M$. Khi ấy $H=M=M'$; ta không gọi $MM'$ là một đường thẳng vì hai điểm trùng nhau.
2. Phương pháp và công thức tọa độ
Cho $M(x_0;y_0;z_0)$ và mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$, với $a^2+b^2+c^2>0$. Một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec n=(a;b;c)$.
Bước 1. Tìm hình chiếu $H$ của $M$ lên $(P)$. Theo bài hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, đặt
Khi đó
Bước 2. Dùng điều kiện $H$ là trung điểm của $MM'$. Theo công thức trung điểm,
Thay tọa độ $H$ vào các đẳng thức này, ta được công thức trực tiếp:
Viết gọn theo tọa độ: $M'=2H-M=M-2t\vec n$.
Vì $a^2+b^2+c^2>0$, giá trị $t$ được xác định duy nhất. Nếu $M\in(P)$ thì $t=0$, nên $M'=M$. Nếu $M\notin(P)$ thì $t\ne0$ và $\overrightarrow{MM'}=-2t\vec n$, nên $MM'\perp(P)$.
Bước 3. Kiểm tra đáp án. Tính trung điểm $H$ của $MM'$ và kiểm tra $H\in(P)$. Khi $M'\ne M$, kiểm tra thêm $\overrightarrow{MM'}$ cùng phương với $\vec n$. Hai điều kiện này xác nhận điểm đối xứng cần tìm.
3. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Tiếp nối bài hình chiếu
Tìm điểm $M'$ đối xứng với $M(2;1;3)$ qua $(P):x-y+z-1=0$.
Lời giải. Một vectơ pháp tuyến là $\vec n=(1;-1;1)$. Ta có
Suy ra $H(1;2;2)$. Vì $H$ là trung điểm của $MM'$,
Vậy $M'(0;3;1)$.
Kiểm tra: trung điểm của $M(2;1;3)$ và $M'(0;3;1)$ là $H(1;2;2)$, với $1-2+2-1=0$. Đồng thời $\overrightarrow{MM'}=(-2;2;-2)=-2\vec n$, nên $MM'\perp(P)$.
Ví dụ 2. Tọa độ phân số
Tìm điểm đối xứng của $M(1;2;0)$ qua $(P):2x-y+2z+3=0$.
Lời giải. Với $\vec n=(2;-1;2)$, ta tính được
Hình chiếu là $H\left(\frac13;\frac73;-\frac23\right)$. Theo công thức điểm đối xứng,
Vậy $M'\left(-\frac13;\frac83;-\frac43\right)$.
Kiểm tra: trung điểm của $MM'$ là $H$; thay $H$ vào phương trình $(P)$ được $\frac23-\frac73-\frac43+3=0$. Mặt khác, $\overrightarrow{MM'}=-\frac23(2;-1;2)$, nên đường thẳng $MM'$ vuông góc với $(P)$.
Ví dụ 3. Đối xứng qua mặt phẳng tọa độ
Cho $M(-2;3;5)$. Hình chiếu của $M$ lên $(Oxy)$ là $H(-2;3;0)$. Vì $H$ là trung điểm của $MM'$, điểm đối xứng qua $(Oxy)$ là $M'(-2;3;-5)$.
Với điểm tổng quát $M(x_0;y_0;z_0)$, ta có:
- Qua $(Oxy)$: $M'(x_0;y_0;-z_0)$.
- Qua $(Oyz)$: $M'(-x_0;y_0;z_0)$.
- Qua $(Oxz)$: $M'(x_0;-y_0;z_0)$.
Đối xứng qua mặt phẳng tọa độ giữ nguyên hai tọa độ nằm trong mặt phẳng và đổi dấu tọa độ còn lại. Phép chiếu đặt tọa độ đó bằng $0$, còn phép đối xứng đổi dấu tọa độ đó. Nếu $M$ thuộc mặt phẳng, cả hai phép đều giữ nguyên $M$.
4. Video bài giảng
Video dưới đây trình bày ví dụ 1 bằng cách tìm hình chiếu rồi dùng công thức trung điểm. Cách đặt tham số của đường thẳng trong video khác dấu với công thức $t$ trong bài viết; hai cách đều cho $H(1;2;2)$ và $M'(0;3;1)$.
5. Bài tập tự luyện
Tìm điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng đã cho. Hãy tự kiểm tra trung điểm và phương vuông góc trước khi mở đáp án.
- $M(1;0;2)$, $(P):x+y+z=0$.
- $M(1;-1;2)$, $(P):2x+2y+z-1=0$.
- $M(-4;2;-3)$, mặt phẳng $(Oyz)$.
- $M(1;2;-1)$, $(P):x-y+2z+3=0$.
Mở đáp án và gợi ý
- $t=1$, $H(0;-1;1)$, nên $M'(-1;-2;0)$. Trung điểm của $MM'$ là $H$ và $\overrightarrow{MM'}=-2(1;1;1)$.
- $t=\frac19$, $H\left(\frac79;-\frac{11}9;\frac{17}9\right)$, nên $M'\left(\frac59;-\frac{13}9;\frac{16}9\right)$. Kiểm tra trung điểm và $\overrightarrow{MM'}=-\frac29(2;2;1)$.
- $(Oyz):x=0$, nên $H(0;2;-3)$ và $M'(4;2;-3)$.
- Vì $1-2+2(-1)+3=0$, ta có $M\in(P)$. Do đó $M'=M=(1;2;-1)$.
6. Những lỗi cần tránh
- Dừng lại ở hình chiếu $H$ trong khi bài toán yêu cầu điểm đối xứng $M'$.
- Viết nhầm $M'=M-2H$. Công thức trung điểm dẫn đến $M'=2H-M$ theo từng tọa độ.
- Bỏ hệ số $2$ trong công thức trực tiếp của điểm đối xứng.
- Đổi dấu tất cả các tọa độ khi đối xứng qua một mặt phẳng tọa độ.
- Chỉ kiểm tra hai điểm cách đều mặt phẳng mà bỏ qua điều kiện trung điểm và phương vuông góc.
Điều cần nhớ: tìm hình chiếu $H$, rồi dùng $H$ làm trung điểm để tìm $M'$. Điểm nằm trên mặt phẳng được giữ nguyên qua phép đối xứng đó.
- Tài liệu bài tập bổ sung trên Scribd (liên kết ngoài).
Bài viết hay, dễ hiểu