Hai đường chéo nhau trong Oxyz lớp 12: hai cách kiểm tra

Cập nhật: 22/10/2026

Hai đường thẳng chéo nhau không có điểm chung và không nằm trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể kiểm tra bằng hệ phương trình, hoặc dùng tích hỗn tạp để nhận biết sự không đồng phẳng.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Chéo nhau là không đồng phẳng

Cho $d_1$ qua $M_1$ có chỉ phương $\vec u_1\ne\vec0$ và $d_2$ qua $M_2$ có chỉ phương $\vec u_2\ne\vec0$. Hai đường chéo nhau khi không có mặt phẳng nào chứa cả hai. Điều này tương đương chúng không giao nhau và hai chỉ phương không cùng phương.

Hai đường song song phân biệt không có điểm chung nhưng vẫn đồng phẳng, nên không chéo nhau. Ngược lại, chỉ phương không cùng phương chưa đủ: hai đường vẫn có thể cắt nhau. Cần kiểm tra cả phương và vị trí.

2. Hai cách kiểm tra

Bằng hệ phương trình: đặt điểm trên $d_1$ theo tham số $t$, điểm trên $d_2$ theo tham số $s$, với $t,s$ độc lập. Cho ba tọa độ tương ứng bằng nhau. Hệ vô nghiệm và hai chỉ phương không cùng phương thì hai đường chéo nhau. Phải xét đủ cả ba phương trình.

Bằng tích hỗn tạp: đặt $\vec w=\overrightarrow{M_1M_2}$ và

Khi đó $d_1,d_2$ chéo nhau đúng khi $S\ne0$. Thật vậy, nếu có điểm chung thì $\vec w=t\vec u_1-s\vec u_2$, nên $S=0$. Nếu hai chỉ phương cùng phương thì tích có hướng bằng $\vec0$ và $S=0$. Do đó $S\ne0$ loại được cả hai trường hợp.

Ở chiều ngược lại, nếu hai đường chéo nhau thì hai chỉ phương độc lập. Nếu $S=0$, vectơ $\vec w$ thuộc mặt phẳng vectơ sinh bởi $\vec u_1,\vec u_2$, nên viết được $\vec w=t\vec u_1-s\vec u_2$. Hai đường khi đó có điểm chung, mâu thuẫn. Vậy $S\ne0$.

Kết quả $S=0$ chỉ nói hai đường đồng phẳng; khi ấy chúng có thể cắt, song song hoặc trùng nhau. Không kết luận một vị trí cụ thể nếu chưa kiểm tra thêm.

3. Ví dụ và ứng dụng

Ví dụ 1. Hai cách chứng minh đường thẳng chéo nhau

Chọn $M_1(0;5;14)$, $M_2(9;1;-1)$, $\vec u_1=(1;-2;-3)$ và $\vec u_2=(-4;1;5)$. Tính được

Suy ra hai đường chéo nhau. Đổi thứ tự tích có hướng hoặc đổi chiều $\vec w$ có thể đổi dấu $S$, nhưng không thay điều kiện khác $0$.

Để kiểm tra bằng hệ, cho các tọa độ bằng nhau:

Hai phương trình đầu cho $t=1,s=2$. Phương trình cuối đòi $3+10=15$, điều này sai, nên hệ vô nghiệm. Đồng thời tích có hướng ở trên khác $\vec0$, nghĩa là hai chỉ phương không cùng phương. Hai điều kiện này cũng kết luận hai đường chéo nhau.

Ví dụ 2. Mặt phẳng chứa một đường và song song đường kia

Với hai đường chéo nhau, chọn $\vec n=[\vec u_1,\vec u_2]\ne\vec0$. Mặt phẳng $(P)$ qua $M_1$ có pháp tuyến $\vec n$ chứa $d_1$ vì $\vec n\cdot\vec u_1=0$. Đồng thời $\vec n\cdot\vec u_2=0$, nên phương của $d_2$ song song với $(P)$.

Do $\vec n\cdot\overrightarrow{M_1M_2}=S\ne0$, điểm $M_2$ không thuộc $(P)$; vì thế $d_2$ song song phân biệt với mặt phẳng này. Với dữ kiện ví dụ 1, có thể rút gọn pháp tuyến thành $(1;-1;1)$ và viết

Điểm $M_1$ thỏa phương trình, còn mọi điểm của $d_2$ cho vế trái bằng $-2$. Đây là phép kiểm trực tiếp việc $d_2$ không cắt $(P)$.

4. Tự luyện

Phân loại từng cặp, với các tham số thực:

1. $d_1:(x;y;z)=(t;0;0)$, $d_2:(x;y;z)=(0;s;1)$.
2. $d_1:(x;y;z)=(t;0;0)$, $d_2:(x;y;z)=(1;0;s)$.
3. $d_1:(x;y;z)=(t;0;0)$, $d_2:(x;y;z)=(s;2;3)$.

Lỗi cần tránh: kết luận chéo chỉ vì không giao nhau; thay cùng một tham số vào cả hai đường; bỏ phương trình tọa độ thứ ba; suy ra song song từ $S=0$; quên kiểm chỉ phương khác vectơ không.

Video gốc đi kèm bài

Các video dưới đây minh họa phương pháp và các ví dụ của bài. Có thể đọc lời giải trước khi xem video.

Mở video gốc 1 trên YouTube.

Mở video gốc 2 trên YouTube.

Tài liệu gốc trên Scribd (liên kết ngoài).