Hai đường thẳng song song trong Oxyz: phân biệt với trùng nhau

Cập nhật: 22/10/2026

Hai đường thẳng cùng phương chưa chắc song song: chúng còn có thể trùng nhau. Trong Oxyz, ta xét chỉ phương trước, rồi kiểm tra một điểm để phân biệt hai trường hợp này.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Cùng phương chưa đủ kết luận song song

Cho $d_1$ qua $M_1$ có chỉ phương $\vec u_1\ne\vec0$ và $d_2$ qua $M_2$ có chỉ phương $\vec u_2\ne\vec0$. Trong bài này, $d_1\parallel d_2$ có nghĩa hai đường thẳng phân biệt, cùng phương và không có điểm chung. Hai đường thẳng trùng nhau được xét riêng.

Nếu $\vec u_1,\vec u_2$ cùng phương thì hai đường thẳng hoặc song song, hoặc trùng nhau. Khi đó chỉ cần thử một điểm của đường này trên đường kia: nếu $M_2\in d_1$ thì chúng trùng nhau; nếu $M_2\notin d_1$ thì chúng song song.

2. Kiểm tra phương và vị trí bằng vectơ

Đặt $\vec w=\overrightarrow{M_1M_2}$. Ta có tiêu chuẩn không cần dùng các phân thức tọa độ:

Điều kiện đầu nói hai chỉ phương cùng phương. Điều kiện sau nói $M_2$ không nằm trên $d_1$, vì điểm của $d_1$ có dạng $M_1+t\vec u_1$. Nếu tích có hướng thứ hai cũng bằng $\vec0$, hai đường thẳng trùng nhau.

Để thấy vì sao phép thử một điểm là đủ, giả sử hai đường có cùng phương và có điểm chung $I$. Cả hai đều là tập các điểm $I+t\vec u_1$, với $t\in\mathbb R$, nên chúng trùng nhau. Bởi vậy hai đường cùng phương mà phân biệt không thể cắt nhau.

Khi làm bài, ghi rõ điểm đi qua và chỉ phương của mỗi đường, kiểm tra chỉ phương khác $\vec0$, rồi xét hai tích có hướng. Cách này vẫn dùng được khi một hoặc hai tọa độ của chỉ phương bằng $0$; không phải viết các tỉ số có mẫu bằng $0$.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Kiểm tra phương và điểm thuộc đường

Xét hai đường thẳng

Hai pháp tuyến của các mặt phẳng xác định $d_1$ là $(1;1;1)$ và $(1;-3;0)$. Tích có hướng của chúng bằng $(3;1;-4)\ne\vec0$, nên lấy $\vec u_1=(3;1;-4)$. Với $d_2$, lấy $M_2(1;-1;1)$ và $\vec u_2=(-3;-1;4)=-\vec u_1$.

Thay phương trình tham số của $d_2$ vào phương trình mặt phẳng thứ nhất, ta được

Vậy không có điểm nào của $d_2$ thuộc mặt phẳng thứ nhất, nên $d_1$ và $d_2$ không giao nhau. Kết hợp với hai chỉ phương cùng phương, suy ra $d_1\parallel d_2$. Không cần đổi dấu tham số khi thay vào phương trình.

Ví dụ 2. Cùng phương nhưng trùng nhau

Cho $d_1$ qua $O(0;0;0)$ có chỉ phương $(1;2;-1)$ và $d_2$ qua $B(2;4;-2)$ có chỉ phương $(-2;-4;2)$. Hai chỉ phương cùng phương và $\overrightarrow{OB}=2(1;2;-1)$, nên $B\in d_1$. Vì thế hai đường trùng nhau, không phải hai đường song song phân biệt.

Ví dụ 3. Không giao nhau vẫn có thể chéo nhau

Hai đường $d_1:(x;y;z)=(t;0;0)$ và $d_2:(x;y;z)=(0;s;1)$, với $t,s\in\mathbb R$, không giao nhau vì tọa độ $z$ lần lượt là $0$ và $1$. Tuy nhiên các chỉ phương $(1;0;0)$ và $(0;1;0)$ không cùng phương. Hai đường chéo nhau. Điều kiện không giao nhau đứng riêng chưa đủ kết luận song song.

4. Tự luyện

1. Phân loại $d_1:(x;y;z)=(t;0;0)$ và $d_2:(x;y;z)=(s;2;0)$.
2. Phân loại $d_1:(x;y;z)=(t;1+t;2)$ và $d_2:(x;y;z)=(2+3s;3+3s;2)$.
3. Phân loại $d_1:(x;y;z)=(t;0;0)$ và $d_2:(x;y;z)=(0;1;s)$. Các tham số đều thuộc $\mathbb R$.

Lỗi cần tránh: suy ra song song chỉ từ chỉ phương cùng phương; gọi hai đường không giao nhau là song song mà chưa xét phương; chia tọa độ bằng $0$; dùng chung một tham số để kiểm tra giao điểm hai đường độc lập.

5. Học tiếp và tài liệu

Vector chỉ phương của đường thẳng · Phương trình đường thẳng trong không gian · Hai đường thẳng cắt nhau · Hai đường thẳng chéo nhau.

Tài liệu gốc trên Scribd (liên kết ngoài).