Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng trong Oxyz

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Chiếu vuông góc từng điểm của một đường thẳng lên mặt phẳng, ta có thể thu được một đường thẳng hoặc chỉ một điểm. Cần phân biệt hai trường hợp này trước khi lập phương trình hình chiếu.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Video · Tự luyện

1. Khi nào hình chiếu là một điểm?

Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $(P)$ là tập hợp các hình chiếu của mọi điểm thuộc $d$. Nếu $d\perp(P)$, mọi điểm trên $d$ đều có hình chiếu là giao điểm $H=d\cap(P)$. Vì vậy hình chiếu của cả đường thẳng chỉ là điểm $H$.

Nếu $d$ không vuông góc với $(P)$, hình chiếu là một đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$. Ta sẽ chứng minh điều này bằng cách tìm tọa độ hình chiếu của một điểm bất kỳ trên $d$.

2. Phương pháp xác định hình chiếu

Cho đường thẳng $d$ đi qua $A(x_0;y_0;z_0)$, có vectơ chỉ phương $\vec u\ne\vec0$, và mặt phẳng

với $\vec n=(a;b;c)\ne\vec0$. Ký hiệu $X=A+s\vec u$ mô tả điểm trên $d$, trong đó $s\in\mathbb R$.

Cách 1. Chiếu một điểm và một vectơ chỉ phương

Bước 1. Tìm hình chiếu $H$ của $A$ lên $(P)$. Đặt

Khi đó $H=A-q\vec n$, tức là $H(x_0-aq;y_0-bq;z_0-cq)$.

Bước 2. Tính vectơ

Nếu $\vec v=\vec0$ thì $\vec u$ cùng phương với $\vec n$, nên $d\perp(P)$ và hình chiếu là điểm $H$. Nếu $\vec v\ne\vec0$ thì hình chiếu là đường thẳng qua $H$, có vectơ chỉ phương $\vec v$:

Vì sao công thức đúng? Với $X=A+s\vec u$, hệ số dùng để chiếu $X$ lên $(P)$ là

Do đó hình chiếu $X'$ của $X$ thỏa mãn

Khi $s$ chạy qua $\mathbb R$, công thức này mô tả toàn bộ hình chiếu. Hơn nữa, $\vec v\cdot\vec n=0$, nên khi $\vec v\ne\vec0$, đường thẳng thu được nằm trong $(P)$.

Trường hợp song song. Nếu $\vec u\cdot\vec n=0$ thì $\vec v=\vec u$. Khi $A\in(P)$, cả đường thẳng $d$ nằm trong $(P)$ và hình chiếu chính là $d$. Khi $A\notin(P)$, đường thẳng $d$ song song với $(P)$ và hình chiếu là đường thẳng qua $H$, song song với $d$.

Cách 2. Dùng mặt phẳng phụ

Cách này áp dụng khi $\vec u$ và $\vec n$ không cùng phương, tức là $d$ không vuông góc với $(P)$.

1. Lập mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $d$ và có hai vectơ chỉ phương là $\vec u$, $\vec n$. Một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\vec n_\alpha=\vec u\times\vec n\ne\vec0$.
2. Tìm giao tuyến $\Delta=(\alpha)\cap(P)$. Đây là hình chiếu cần tìm.

Thật vậy, khi chiếu một điểm trên $d$, ta di chuyển theo phương $\vec n$, nên hình chiếu vẫn thuộc $(\alpha)$ và đồng thời thuộc $(P)$. Theo cách 1, tập hình chiếu là một đường thẳng; vì vậy nó trùng với giao tuyến trên. Nếu $d\perp(P)$ thì $\vec u\times\vec n=\vec0$; phải kết luận hình chiếu là một điểm thay vì dùng tích có hướng bằng không làm pháp tuyến.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Dùng mặt phẳng phụ

Cho

và $(P):x-y+z-1=0$. Tìm hình chiếu của $d$ lên $(P)$.

Lời giải. Ta có $A(1;2;-1)\in d$, $\vec u=(-1;2;-1)$ và $\vec n=(1;-1;1)$. Vì

hình chiếu là một đường thẳng. Mặt phẳng phụ $(\alpha)$ qua $A$, có pháp tuyến $(1;0;-1)$, là

Giao tuyến $\Delta=(\alpha)\cap(P)$ được xác định bởi hai phương trình

Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $(1;-1;1)\times(1;0;-1)=(1;2;1)$. Cho $x=0$, ta được $B(0;-3;-2)\in\Delta$. Vậy

Kiểm tra bằng cách 1. Hình chiếu của $A$ là $H(2;1;0)$; vectơ chiếu là $\vec v=\left(\frac13;\frac23;\frac13\right)$. Vì $H=B+2(1;2;1)$ và $\vec v=\frac13(1;2;1)$, hai cách xác định cùng một đường thẳng.

Ví dụ 2. Hình chiếu chỉ là một điểm

Cho $d$ đi qua $A(1;-2;4)$, có vectơ chỉ phương $(0;0;1)$. Tìm hình chiếu của $d$ lên $(Oxy)$.

Lời giải. Mặt phẳng $(Oxy):z=0$ có pháp tuyến $(0;0;1)$, cùng phương với vectơ chỉ phương của $d$. Do đó $d\perp(Oxy)$. Mọi điểm $(1;-2;4+s)$ trên $d$ đều có hình chiếu $H(1;-2;0)$. Hình chiếu của $d$ là duy nhất điểm $H$, không có phương trình đường thẳng hình chiếu.

Ví dụ 3. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Cho $d$ đi qua $A(1;2;3)$, có vectơ chỉ phương $\vec u=(2;-1;0)$. Tìm hình chiếu lên $(Oxy)$.

Lời giải. Hình chiếu của $A$ là $H(1;2;0)$. Vì $\vec u\cdot(0;0;1)=0$, vectơ chỉ phương được giữ nguyên. Hình chiếu là

Nếu thay điểm đầu bằng $A(1;2;0)$ và giữ nguyên vectơ chỉ phương thì $d$ nằm trong $(Oxy)$; khi đó hình chiếu chính là $d$.

4. Video bài giảng

Video hướng dẫn phương pháp mặt phẳng phụ trong ví dụ 1. Khi áp dụng cho bài khác, hãy kiểm tra trước trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Mở video trên YouTube.

5. Bài tập tự luyện

Trong mỗi bài, $d$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\vec u$. Hãy xác định hình chiếu là đường thẳng hay một điểm trước khi tính toán.

1. $A(0;0;1)$, $\vec u=(1;1;1)$; chiếu lên $(Oxy)$.
2. $A(2;-1;3)$, $\vec u=(0;1;0)$; chiếu lên $(P):y-2=0$.
3. $A(0;1;2)$, $\vec u=(1;-1;0)$; chiếu lên $(P):z-1=0$.
4. $A(1;0;0)$, $\vec u=(1;2;1)$; chiếu lên $(P):x-y+z-1=0$.

6. Những lỗi cần tránh

• Mặc định hình chiếu của đường thẳng luôn là đường thẳng. Trước hết phải xét $\vec u$ có cùng phương với pháp tuyến hay không.
• Dùng tích có hướng bằng $\vec0$ làm pháp tuyến của mặt phẳng phụ. Điều này xảy ra khi $d\perp(P)$.
• Giữ nguyên vectơ chỉ phương của $d$ trong mọi trường hợp. Quy tắc này chỉ đúng khi $\vec u\cdot\vec n=0$.
• Gọi hai pháp tuyến của hai mặt phẳng xác định giao tuyến là “hai vectơ pháp tuyến của đường thẳng”. Cần nêu rõ chúng là pháp tuyến của hai mặt phẳng.
• So sánh hai phương trình tham số chỉ bằng tọa độ điểm đầu. Hai điểm đầu khác nhau vẫn có thể nằm trên cùng một đường thẳng.

Điều cần nhớ: chiếu một điểm và vectơ chỉ phương của đường thẳng; nếu vectơ chiếu bằng $\vec0$ thì kết quả là một điểm. Khi dùng mặt phẳng phụ, phải kiểm tra hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó không cùng phương.

7. Bài học liên quan

• Ôn công thức: Hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng.
• Bài trước trong chuỗi: Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng.
• Các bài hình học giải tích không gian.
• Vận dụng thêm: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
• Góc và hình chiếu: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.