Đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau – lớp 11

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau phải vừa vuông góc vừa cắt cả hai đường. Một đường chỉ có phương vuông góc với chúng chưa đủ làm đường vuông góc chung.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Đường và đoạn vuông góc chung

Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,b$. Có duy nhất một đường thẳng $\Delta$ cắt cả $a,b$ và vuông góc với cả hai. Nếu $A=\Delta\cap a$, $B=\Delta\cap b$, thì $AB$ là đoạn vuông góc chung. Hai điểm $A,B$ phân biệt vì $a,b$ không có điểm chung.

Phải kiểm tra đủ bốn việc: $A\in a$, $B\in b$, $AB\perp a$, $AB\perp b$. Hai quan hệ vuông góc không tự bảo đảm đường đã dựng đi qua cả hai đường ban đầu.

2. Quy trình dựng và lý do đúng

1. Dựng mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và song song với $b$. Hai chỉ phương của hai đường chéo nhau không cùng phương, nên mặt phẳng này được xác định duy nhất.
2. Dựng mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và vuông góc $(P)$. Vì $a\subset(P)$, đường $a$ không vuông góc $(P)$, nên $(Q)$ cũng được xác định duy nhất.
3. Gọi $B=b\cap(Q)$. Trong $(Q)$, hạ $BA\perp a$ tại $A$.

Giao điểm ở bước 3 tồn tại duy nhất. Thật vậy, chỉ phương của $b$ nằm theo $(P)$ nhưng không cùng phương $a=(P)\cap(Q)$; vì vậy nó không song song $(Q)$. Hai đường $a,b$ chéo nhau nên $B\notin a$, do đó đoạn $BA$ không suy biến.

Vì $(P)\perp(Q)$ và $BA\subset(Q)$ vuông góc giao tuyến $a$, ta có $BA\perp(P)$. Mà $b\parallel(P)$, suy ra $BA\perp b$. Các điều kiện của đoạn vuông góc chung đều được thỏa.

Để thấy tính duy nhất, mọi đường vuông góc cả $a,b$ có phương pháp tuyến của $(P)$. Nếu nó cắt $a$, nó nằm trong $(Q)$, nên điểm cắt với $b$ phải là chính $B$. Từ $B$ chỉ có một chân vuông góc trên $a$, vì vậy chân kia phải là $A$.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hai cặp đường trong hình lập phương

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. Đoạn $BB^{\prime}$ có hai đầu $B\in AB$, $B^{\prime}\in B^{\prime}C^{\prime}$ và vuông góc cả hai đường. Vì vậy nó là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $B^{\prime}C^{\prime}$.

Gọi $O=AC\cap BD$ và $O^{\prime}=A^{\prime}C^{\prime}\cap B^{\prime}D^{\prime}$ là tâm hai mặt đáy. Đường $OO^{\prime}$ vuông góc hai mặt đáy và cắt $AC$, $B^{\prime}D^{\prime}$ tại $O,O^{\prime}$. Do đó $OO^{\prime}$ là đoạn vuông góc chung của hai đường này. Đường $BB^{\prime}$ cũng có phương vuông góc chúng, nhưng không cắt $AC$, nên không phải đường vuông góc chung của cặp này.

Ví dụ 2. Lăng trụ xiên có chân chiếu đã biết

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ có đáy $ABC$ là tam giác đều. Hình chiếu của $A^{\prime}$ lên $(ABC)$ là trung điểm $H$ của $AB$. Tìm đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CC^{\prime}$.

Dựng theo quy trình. Chọn $(P)=(ABB^{\prime}A^{\prime})$: nó chứa $AB$ và song song với $CC^{\prime}$ vì chứa $AA^{\prime}\parallel CC^{\prime}$, còn $C\notin(P)$. Vì $A^{\prime}H\perp(ABC)$ và $A^{\prime}H\subset(P)$, hai mặt phẳng $(P),(ABC)$ vuông góc. Vậy có thể chọn $(Q)=(ABC)$. Đường $CC^{\prime}$ cắt $(Q)$ tại $C$; chân vuông góc từ $C$ xuống $AB$ là $H$ do tam giác đáy đều. Đoạn cần tìm là $HC$.

Kiểm tra trực tiếp. Ta có $CH\perp AB$ và $CH\perp A^{\prime}H$ vì $CH$ nằm trong đáy. Hai đường $AB,A^{\prime}H$ cắt nhau tại $H$ trong $(P)$, nên $CH\perp(P)$. Vì $CC^{\prime}\parallel(P)$, suy ra $CH\perp CC^{\prime}$. Các đầu mút thỏa $H\in AB$, $C\in CC^{\prime}$; vậy $HC$ đúng là đoạn vuông góc chung.

4. Bài tập tự luyện

1. Trong hình lập phương ở ví dụ 1, tìm đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CC^{\prime}$.
2. Trong ví dụ 2, nếu cạnh tam giác đều bằng $a>0$, tính độ dài $HC$.
3. Một đường vuông góc cả $a,b$ nhưng chỉ cắt $b$ có phải đường vuông góc chung không?

5. Những lỗi cần tránh

• Kiểm tra vuông góc nhưng bỏ hai điều kiện giao điểm.
• Nhầm tên hai đường: $BB^{\prime}$ trong ví dụ 1 là đoạn chung của $AB$ và $B^{\prime}C^{\prime}$.
• Dùng một mặt phẳng chưa được xác định trong hình lăng trụ.
• Áp dụng tính duy nhất cho hai đường song song hoặc cắt nhau, dù phát biểu ở đây dành cho hai đường chéo nhau.

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.