Thiết diện hình chóp vuông góc với một mặt phẳng
Dựng mặt phẳng chứa AB vuông góc mặt SCD, chứng minh tính duy nhất và xác định hình thang thiết diện trong hình chóp đáy vuông.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Một mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc một mặt phẳng khác cần được xác định đủ điều kiện. Sau khi dựng nó, phải kiểm tra các giao điểm có nằm trên cạnh của hình chóp hay chỉ ở phần kéo dài.
Mục tiêu: dựng thiết diện từ điều kiện hai mặt phẳng vuông góc; chứng minh tính duy nhất và vị trí các đỉnh.
Kiến thức cần biết: hai mặt phẳng vuông góc, giao tuyến bằng song song và thiết diện.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Khi nào mặt phẳng được xác định duy nhất?
Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(Q)$. Nếu $d$ không vuông góc $(Q)$, có duy nhất một mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc $(Q)$. Thật vậy, mặt phẳng này chứa phương của $d$ và phương pháp tuyến của $(Q)$. Hai phương không cùng phương nên xác định duy nhất mặt phẳng qua $d$.
Ngược lại, nếu $d\perp(Q)$ thì mọi mặt phẳng chứa $d$ đều vuông góc $(Q)$, nên có vô số mặt phẳng phù hợp. Vì vậy không được kết luận duy nhất chỉ từ việc “chứa một đường và vuông góc một mặt phẳng”.
2. Cách dựng và kiểm tra
Một cách hiệu quả là tìm điểm $H$ để một đường của $(Q)$ vuông góc với hai đường cắt nhau trong mặt phẳng đang dựng. Khi đó tiêu chuẩn đường–mặt cho quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng. Cần kiểm tra tính duy nhất trước khi đồng nhất mặt phẳng vừa dựng với mặt phẳng đề bài.
- Dùng một tam giác thích hợp để kẻ đường vuông góc và tìm điểm $H$.
- Chứng minh mặt phẳng dựng từ $H$ chứa đường đã cho và vuông góc $(Q)$.
- Tìm giao tuyến với các mặt còn lại bằng điểm chung và phương song song.
- Chứng minh các đầu mút nằm trong đoạn cạnh, rồi khép thiết diện theo thứ tự.
3. Ví dụ có lời giải
Mặt phẳng chứa AB và vuông góc mặt bên SCD
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a>0$, $SA\perp(ABCD)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $AB$ và vuông góc $(SCD)$. Xác định thiết diện.
Dựng mặt phẳng cắt. Trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$, kẻ đường cao $AH\perp SD$, với $H$ nằm trong cạnh huyền $SD$. Vì $AB\perp AD$ và $AB\perp SA$, mà $AD,SA$ cắt nhau trong $(SAD)$, ta có $AB\perp(SAD)$, suy ra $AB\perp SD$.
Hai đường $AB,AH$ cắt nhau tại $A$ và cùng vuông góc $SD$. Chúng phân biệt vì $AB\perp(SAD)$ còn $AH\subset(SAD)$. Do đó $SD\perp(ABH)$. Vì $SD\subset(SCD)$, suy ra $(ABH)\perp(SCD)$.
Mặt khác, $AB\parallel CD\subset(SCD)$, nên $AB$ không vuông góc $(SCD)$. Theo tính duy nhất ở mục 1, mặt phẳng chứa $AB$ và vuông góc $(SCD)$ chính là $(ABH)$. Vậy $(\alpha)=(ABH)$.
Tìm cạnh cắt mặt $SCD$. Hai mặt phẳng cùng chứa $H$, đồng thời $(\alpha)$ chứa $AB$ và $(SCD)$ chứa $CD$, với $AB\parallel CD$. Vì vậy giao tuyến là đường qua $H$ song song $CD$. Gọi nó cắt $SC$ tại $K$. Trong tam giác $SDC$, vì $H$ thuộc phần trong $SD$, đường song song $DC$ cắt $SC$ tại điểm trong $K$.
Khép thiết diện. Các đoạn trên các mặt đáy và mặt bên là $AB$, $BK$, $KH$, $HA$. Mặt $SAB$ chỉ bị cắt theo cạnh $AB$, còn ba mặt bên kia cho các đoạn đã nêu. Thiết diện là hình thang $ABKH$, với $AB\parallel HK$. Ta có $HK<CD=AB$ vì $H$ nằm trong $SD$, nên hình không suy biến thành hình bình hành.
4. Bài tập tự luyện
- Trong ví dụ, vì sao $SD\perp AB$? Có đủ nếu chỉ biết $SD\perp AH$ không?
- Nếu có thêm $SA=a$, hãy xác định vị trí $H,K$ và tính $HK$.
- Nếu đường $d\perp(Q)$, có duy nhất một mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc $(Q)$ không?
Mở đáp án và gợi ý
- $AB$ vuông góc cả $AD$ lẫn $SA$, nên vuông góc $(SAD)$ và do đó vuông góc $SD$. Chỉ một đường $AH$ không đủ kiểm tra $SD$ vuông góc một mặt phẳng.
- Tam giác $SAD$ vuông cân tại $A$, nên chân đường cao $H$ là trung điểm $SD$. Vì $HK\parallel DC$, $K$ là trung điểm $SC$ và $HK=a/2$.
- Không. Mọi mặt phẳng chứa $d$ đều phù hợp, nên có vô số.
5. Những lỗi cần tránh
- Nhầm $AB\subset(\alpha)$ thành $(\alpha)\subset AB$.
- Chứng minh một mặt phẳng thỏa yêu cầu rồi kết luận duy nhất mà chưa kiểm tra điều kiện.
- Giả sử điểm chân vuông góc ở trên cạnh nhưng không chứng minh.
- Nhầm thứ tự các đỉnh khi khép thiết diện.
Để lại một bình luận