Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc đến chân chiếu trên đường ấy. Đoạn nối tới một điểm bất kỳ của đường không tự động là khoảng cách cần tìm.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Định nghĩa và trường hợp bằng 0

Cho điểm $M$ và đường thẳng $\Delta$. Nếu $M\notin\Delta$, gọi $H\in\Delta$ sao cho $MH\perp\Delta$. Điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$, và khoảng cách là

Nếu $M\in\Delta$, hình chiếu là chính $M$ và khoảng cách bằng $0$. Không gọi $MH$ là một đường thẳng trong trường hợp $M=H$. Khoảng cách luôn không âm và bằng $0$ đúng khi điểm thuộc đường.

2. Vì sao lấy đoạn vuông góc?

Với $M\notin\Delta$ và mọi $Q\in\Delta$ khác $H$, tam giác $MHQ$ vuông tại $H$, nên $MQ^2=MH^2+HQ^2>MH^2$. Khi $Q=H$, ta có $MQ=MH$. Vì vậy $MH$ là độ dài nhỏ nhất trong các đoạn nối $M$ với một điểm của đường thẳng.

1. Tìm một điểm $H$ thuộc đúng đường thẳng đang xét.
2. Chứng minh $MH\perp\Delta$, thường bằng một góc vuông đã biết hoặc tiêu chuẩn đường–mặt.
3. Tính $MH$ bằng Pythagore, hệ thức đường cao hoặc dữ kiện hình học phù hợp.
4. Kiểm tra đơn vị độ dài và trường hợp điểm đã thuộc đường.

Đề hỏi khoảng cách đến đường thẳng khác với khoảng cách đến đoạn thẳng. Chân $H$ có thể ở ngoài đoạn được vẽ nhưng vẫn thuộc đường chứa đoạn. Nếu chỉ xét đoạn, cần kiểm tra vị trí chân chiếu; khi chân ở ngoài, điểm gần nhất của đoạn là một đầu mút.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hai khoảng cách trong hình hộp chữ nhật

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$, các đỉnh trên tương ứng với các đỉnh đáy, có $AB=a>0$, $AD=b>0$, $AA^{\prime}=c>0$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $BC$ và đến $C^{\prime}D^{\prime}$.

Vì $B\in BC$ và $AB\perp BC$, chân chiếu của $A$ lên $BC$ là $B$. Do đó $d(A,BC)=AB=a$.

Hai đường $A^{\prime}D^{\prime},DD^{\prime}$ cắt nhau tại $D^{\prime}$ trong mặt phẳng $(ADD^{\prime}A^{\prime})$. Đường $C^{\prime}D^{\prime}$ vuông góc với cả hai, nên vuông góc mặt phẳng ấy. Vì $AD^{\prime}$ nằm trong mặt phẳng, ta có $AD^{\prime}\perp C^{\prime}D^{\prime}$. Điểm $D^{\prime}$ thuộc đường đang xét, nên là chân chiếu của $A$.

Tam giác $ADD^{\prime}$ vuông tại $D$, với $AD=b$, $DD^{\prime}=c$. Suy ra

Ví dụ 2. Một chân chiếu đã có trong giả thiết

Cho hình chóp $S.ABC$ với $SA\perp(ABC)$ và $SA=h>0$. Vì $A\in AB$ và $SA\perp AB$, chân chiếu của $S$ lên đường $AB$ là $A$. Vậy $d(S,AB)=h$. Ngược lại, khoảng cách từ $B$ đến chính đường $AB$ bằng $0$.

4. Bài tập tự luyện

1. Trong hình hộp ở ví dụ 1, lấy $a=2,b=3,c=4$. Tính hai khoảng cách đã xét.
2. Nếu $M\in\Delta$, khoảng cách là gì? Có dựng một đường thẳng $MM$ để áp dụng vuông góc không?
3. Cho chân chiếu $H$ của $P$ lên đường $AB$ nằm ngoài đoạn $AB$. Có thể kết luận khoảng cách từ $P$ đến đoạn $AB$ bằng $PH$ không?

5. Những lỗi cần tránh

• Chọn điểm $H$ không thuộc đường cần tính khoảng cách.
• Tính độ dài một đoạn nhưng chưa chứng minh nó vuông góc đường.
• Nhầm đường thẳng với đoạn cạnh được vẽ.
• Dùng độ dài âm hoặc gọi đoạn suy biến là một đường vuông góc.

6. Bài học liên quan

• Hình chiếu điểm lên đường thẳng trong Oxyz
• Đường vuông góc mặt phẳng
• Khoảng cách điểm đến mặt phẳng

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.