Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng hình học

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Khoảng cách đến mặt phẳng được tính theo đoạn vuông góc từ điểm đến chân chiếu. Trong bài hình học tổng hợp, công việc chính là chứng minh đã chọn đúng chân chiếu rồi tính độ dài.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Định nghĩa

Với $M\notin(P)$, gọi $H\in(P)$ sao cho $MH\perp(P)$. Khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ là $d(M,(P))=MH$. Nếu $M\in(P)$ thì hình chiếu là chính $M$ và khoảng cách bằng $0$.

Vì khoảng cách là độ dài, nó không âm. Khi $M=H$, không gọi $MH$ là đường thẳng. Chân chiếu cần thuộc toàn mặt phẳng, nhưng không nhất thiết nằm trong một miền đa giác biểu diễn mặt phẳng ấy.

2. Chọn đúng đoạn ngắn nhất

Nếu $M\notin(P)$ và $Q\in(P)$ khác $H$, ta có $MH\perp HQ$. Trong tam giác vuông $MHQ$, $MQ^2=MH^2+HQ^2>MH^2$. Với $Q=H$ có dấu bằng. Vì vậy $MH$ là đoạn ngắn nhất từ $M$ đến mặt phẳng.

1. Xác định điểm chân chiếu có thể dùng từ các đường cao, giao điểm hoặc tính đối xứng.
2. Chứng minh đoạn nối đến chân vuông góc hai đường phân biệt cắt nhau trong mặt phẳng.
3. Suy ra đoạn ấy vuông góc mặt phẳng, rồi tính độ dài.
4. Kiểm tra các độ dài dương, giả thiết không suy biến và trường hợp điểm thuộc mặt phẳng.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hình chóp có các mặt bên đều

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông và mọi mặt bên là tam giác đều cạnh $a>0$. Gọi $O=AC\cap BD$. Tính $d(S,(ABCD))$. Các mặt bên đều cạnh $a$ cho cả bốn cạnh đáy và bốn cạnh bên bằng $a$.

Vì $SA=SC$, tam giác $SAC$ cân tại $S$. Điểm $O$ là trung điểm $AC$, nên trung tuyến $SO$ đồng thời là đường cao: $SO\perp AC$. Tương tự, từ $SB=SD$ và $O$ là trung điểm $BD$, suy ra $SO\perp BD$. Hai đường $AC,BD$ cắt nhau tại $O$ và nằm trong đáy, nên $SO\perp(ABCD)$. Chân chiếu của $S$ là $O$.

Đường chéo hình vuông $AC=a\sqrt2$, do đó $AO=a/\sqrt2$. Trong tam giác vuông $SAO$,

Vậy $d(S,(ABCD))=SO=a/\sqrt2$. Cũng có thể dùng công thức trung tuyến trong tam giác $SAC$: $SO^2=(SA^2+SC^2)/2-AC^2/4$, cho cùng kết quả. Hai cách tính đều cần bước chứng minh $SO$ vuông góc đáy.

Ví dụ 2. Điểm trên đường cao

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp(ABC)$ và $SA=h>0$. Khi đó $d(S,(ABC))=h$. Nếu $M$ là trung điểm $SA$, đường $MA$ có cùng phương $SA$, nên vuông góc đáy, còn $A$ thuộc đáy. Do đó $d(M,(ABC))=MA=h/2$. Với điểm $B$ của đáy, khoảng cách bằng $0$.

4. Bài tập tự luyện

1. Trong ví dụ 1, nếu $a=2$, khoảng cách từ $S$ đến đáy bằng bao nhiêu?
2. Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ có $AA^{\prime}=c>0$, tìm $d(A^{\prime},(ABCD))$.
3. Trong ví dụ 1, vì sao chỉ biết $SO\perp AC$ chưa đủ để kết luận $SO$ là khoảng cách đến mặt phẳng đáy?

5. Những lỗi cần tránh

• Đoán chân chiếu là tâm đáy mà chưa dùng đủ giả thiết đối xứng hoặc các cạnh bằng nhau.
• Chỉ kiểm tra vuông góc với một đường của mặt phẳng.
• Dùng công thức Pythagore trước khi biết góc vuông ở đâu.
• Nhầm khoảng cách điểm–mặt phẳng với khoảng cách đến một miền đa giác.

6. Bài học liên quan

• Đường vuông góc mặt phẳng
• Khoảng cách điểm đến đường
• Công thức khoảng cách điểm–mặt phẳng trong Oxyz
• Hình chiếu điểm lên mặt phẳng

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.