Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

Những mệnh đều sau đây sẽ được dùng.
 

$(i)$      Đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ có hệ số góc là $k$. $(ii)$    Hệ số góc của tiếp tuyến $T$ của hàm số $y=f\left( x \right)$  tại điểm $x_0$ là $f'\left( {{x_0}} \right)$. $(iii)$     Hai đường thẳng vuông góc nhau khi có tích các hệ số góc là $-1$. $(iv)$    Phương trình tiếp tuyến $T$ của hàm số $y=f\left( x \right)$  tại điểm $M_0(x_0;y_0)$ là $$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\;\;$$

 

Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến $(\Delta)$ của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ vuông góc với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$.

Giải. Gọi $M_0(x_0;y_0)$ là tiếp điểm. Từ $(i)$ và $(ii)$ ta có hệ số góc của $\Delta$ và $d$  lần lượt là $f'\left( {{x_0}} \right)$ và $k$.

Vì $\Delta  \bot d$ nên theo $(iii)$ ta có $f'\left( {{x_0}} \right) \cdot k =  - 1.$ Từ đây ta có $x_0$ là nghiệm của phương trình $f'\left( {{x}} \right) \cdot k =  - 1$.

Từ đây ta có các bước để viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ vuông góc với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ như sau:

 

Bước 1. Giải phương trình $f'\left( {{x}} \right) \cdot k =  - 1$, nghiệm $x_0$ của phương trình là hoành độ của tiếp điểm.  Bước 2. Tính ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ để được tiếp điểm $M_0(x_0;y_0)$.  Bước 3. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M_0(x_0;y_0)$ theo mệnh đề $(iv)$.

 

Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến $T$ của đồ thị hàm số $(C): y = {x^2} - 2x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):x + 2y + 1 =0$.
Giải. Bước 1. Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 2.$.

Ta cũng có $\left( d \right):x + 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow y =  - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.$ Hệ số góc của đường thẳng $\left( d \right) $ là $ k = - \frac{1}{2}$.

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $$f'\left( x \right) \cdot k =  - 1 \Leftrightarrow \left( {2x - 2} \right) \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow 2x - 2 = 2 \Leftrightarrow x = 2.$$

Bước 2. Thay $x_0=2$ vào phương trình của $(C)$ ta được $y_0=-1$. Suy ra tiếp điểm là ${M_0}\left( {2; - 1} \right).$

Bước 3. Ta có $f'\left( {{x_0}} \right) = 2$. Phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left( {2; - 1} \right)$ là 
$$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = 2\left( {x - 2} \right) - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 5.$$
 

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $\left( d \right):y = \frac{1}{3}x.$
Giải. Từ giả thiết ta suy ra hệ số góc của đường thẳng $d$ là $\frac{1}{3}$. Vì tiếp tuyến $\Delta \bot d$ nên hoành độ tiếp điểm, nếu có, là nghiệm của phương trình $$f'\left( x \right).\frac{1}{3} =  - 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\frac{1}{3} =  - 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  {x_1} = 0 \Rightarrow {y_1} = f\left( 0 \right) =  - 1 \hfill \\
  {x_2} = 2 \Rightarrow {y_2} = f\left( 2 \right) = 5 \hfill \\
\end{gathered}  \right.$$
Vậy có hai tiếp điểm là ${M_1}\left( {0; - 1} \right),{M_2}\left( {2;5} \right)$.
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_1}\left( {0; - 1} \right)$ là $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;\;y =  - 3\left( {x - {x_1}} \right) + {y_1} \Leftrightarrow y =  - 3\left( {x - 0} \right) - 1 \Leftrightarrow y =  - 3x - 1.$$
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_2}\left( {2;5} \right)$ là $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_2}} \right) + {y_2} \Leftrightarrow y = 6\left( {x - 2} \right) + 5 \Leftrightarrow y = 6x - 7.$$