Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Phương trình đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$
Phương trình đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$. Phương trình đối xứng đối với $\tan x$ và $\cot x$.
Phương trình đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$ có dạng $$a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x = c\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$
Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right), - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 .$ Khi đó ${t^2} = 1 + 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2},$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được $$at + b\frac{{{t^2} - 1}}{2} = c \Leftrightarrow b{t^2} + 2at - 2c - b = 0.$$
Đây là phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác mà ta đã học ở bài trước.
Ví dụ 1. Giải phương trình $\sin x + \cos x + \sin 2x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right), - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 .$ Khi đó ${t^2} = 1 + 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2},$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được $$at + b\frac{{{t^2} - 1}}{2} = c \Leftrightarrow b{t^2} + 2at - 2c - b = 0.$$
Đây là phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác mà ta đã học ở bài trước.
Ví dụ 1. Giải phương trình $\sin x + \cos x + \sin 2x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Giải. Đặt $t = \sin x + \cos x, - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 $ $ \Rightarrow {t^2} = 1 + 2\sin x\cos x = 1 + \sin 2x \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1.$ $$\left( * \right) \Leftrightarrow t + {t^2} = 0 \Leftrightarrow t\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
t = - 1
\end{array} \right.$$ Với $t = 0 \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 0$
t = 0\\
t = - 1
\end{array} \right.$$ Với $t = 0 \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 0$
$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array}$
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array}$
Với $t = - 1 \Leftrightarrow \sin x + \cos x = - 1$
$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$
Ví dụ 2. Giải phương trình $\sin x - \cos x + \sin 2x - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Giải. Đặt $t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right), - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 .$
Suy ra ${t^2} = 1 - 2\sin x\cos x = 1 - \sin 2x \Rightarrow \sin 2x = 1 - {t^2}.$ Khi đó $$\left( * \right) \Leftrightarrow t - {t^2} = 0 \Leftrightarrow t\left( {1 - t} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
t = 1
\end{array} \right.$$ Với $t = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $
Suy ra ${t^2} = 1 - 2\sin x\cos x = 1 - \sin 2x \Rightarrow \sin 2x = 1 - {t^2}.$ Khi đó $$\left( * \right) \Leftrightarrow t - {t^2} = 0 \Leftrightarrow t\left( {1 - t} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
t = 1
\end{array} \right.$$ Với $t = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $
Với $t = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$
$ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi
\end{array} \right.$
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh