Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Công thức cộng xác suất
Công thức cộng xác suất thứ nhất. Công thức cộng xác suất thứ hai. Công thức tính xác suất của biến cố đối.
Công thức cộng xác suất thứ nhất. Cho hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc nhau. Khi đó xác suất của biến cố hợp $A \cup B$ được tính theo công thức $$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right).$$
Nhắc lại rằng hai biến cố được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử, tương đương với biến cố giao $A \cap B = \emptyset $.
Ví dụ 1. Thực hiện phép thử “Rút ngẫu nhiên $3$ bi từ một hộp $10$ bi gồm $6$ bi đỏ và $4$ bi trắng”. Tính xác suất của biến cố $M:$3 bi rút được có cùng màu.
Số cách rút được $0$ bi đỏ và $3$ bi trắng là $C_6^0 \cdot C_4^3.$ Suy ra $$P\left( {{A_0}} \right) = \frac{{C_6^0 \cdot C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{{30}}.$$ Tương tự xác suất của các biến cố $A_1$, $A_2$, $A_3$ là $$P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_6^1 \cdot C_4^2}}{{C_{10}^3}} = \frac{9}{{30}};\;\;\;P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_6^2 \cdot C_4^1}}{{C_{10}^3}} = \frac{{15}}{{30}};\;\;\;\;P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_6^3 \cdot C_4^0}}{{C_{10}^3}} = \frac{5}{{30}}.$$
Các biến cố $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ hiển nhiên là đôi một xung khắc nhau. Hơn nữa $M = A_0 \cup A_3$ nên $$P\left( M \right) = P\left( {{A_0}} \right) + P\left( {{A_3}} \right) = \frac{1}{{30}} + \frac{5}{{30}} = \frac{1}{5}.$$
Ví dụ 3. Trong ngày hội trại 26/3, cô giáo chủ nhiệm tổ chức cho một nhóm 30 bạn học sinh của cả lớp 11A tham gia hai tiết mục văn nghệ tốp ca và tốp múa. Có 15 bạn tham gia tốp ca, 10 bạn tham gia tốp múa và 6 bạn tham gia cả hai. Chọn một bạn học sinh bất kì trong lớp 11A, tính xác suất để bạn học sinh này tham gia một trong hai tiết mục văn nghệ tốp ca hoặc tốp múa.
Nhắc lại rằng hai biến cố được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử, tương đương với biến cố giao $A \cap B = \emptyset $.
Ví dụ 1. Thực hiện phép thử “Rút ngẫu nhiên $3$ bi từ một hộp $10$ bi gồm $6$ bi đỏ và $4$ bi trắng”. Tính xác suất của biến cố $M:$3 bi rút được có cùng màu.
Giải. Xét các biến cố
$A_0:$ rút ra được $0$ bi đỏ và $3$ bi trắng.
$A_1$: rút ra được $1$ bi đỏ và $2$ bi trắng.
$A_2$: rút ra được $2$ bi đỏ và $1$ bi trắng.
$A_3$: rút ra được $3$ bi đỏ và $0$ bi trắng.
$A_2$: rút ra được $2$ bi đỏ và $1$ bi trắng.
$A_3$: rút ra được $3$ bi đỏ và $0$ bi trắng.
Số phần tử của không gian mẫu là số cách rút 3 trong 10 bi là $C_{10}^3.$
Số cách rút được $0$ bi đỏ và $3$ bi trắng là $C_6^0 \cdot C_4^3.$ Suy ra $$P\left( {{A_0}} \right) = \frac{{C_6^0 \cdot C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{{30}}.$$ Tương tự xác suất của các biến cố $A_1$, $A_2$, $A_3$ là $$P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_6^1 \cdot C_4^2}}{{C_{10}^3}} = \frac{9}{{30}};\;\;\;P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_6^2 \cdot C_4^1}}{{C_{10}^3}} = \frac{{15}}{{30}};\;\;\;\;P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_6^3 \cdot C_4^0}}{{C_{10}^3}} = \frac{5}{{30}}.$$
Các biến cố $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ hiển nhiên là đôi một xung khắc nhau. Hơn nữa $M = A_0 \cup A_3$ nên $$P\left( M \right) = P\left( {{A_0}} \right) + P\left( {{A_3}} \right) = \frac{1}{{30}} + \frac{5}{{30}} = \frac{1}{5}.$$
Hệ quả. Với $A$ là một biến cố bất kì, với biến cố đối là ${\bar A}$, ta luôn có $$P\left( A \right) = 1 - \bar A.$$
Chứng minh. Rõ ràng $A$ và ${\bar A}$ xung khắc nhau. Hơn nữa $$A \cup \bar A = \Omega \Leftrightarrow P\left( {A \cup \bar A} \right) = P\left( \Omega \right) \Leftrightarrow P\left( A \right) + P\left( {\bar A} \right) = 1.$$
Ví dụ 2. Ta xét lại phép thử như ở Ví dụ 1. Hãy thử tính xác suất của biến cố $N:$ "trong 3 bi rút ra có ít nhất một bi đỏ" theo 2 cách.
Cách 1. Tính trực tiếp. Rõ ràng biến cố $N$ xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong các biến cố $A_1$, $A_2$, $A_3$ xảy ra nên $N = {A_1} + {A_2} + {A_3}.$ Hơn nữa các biến cố này đôi một xung khắc nhau nên theo Công thức cộng xác suất thứ nhất ta có $$P\left( N \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right) = \frac{9}{{30}} + \frac{{15}}{{30}} + \frac{5}{{30}} = \frac{{29}}{{30}}.$$
Cách 2. Tính theo công thức biến cố đối. Rõ ràng ${\bar A}$ là biến cố "không có bi đỏ nào được rút ra", hay $\bar N = {A_0}.$ Theo công thức tính xác suất của biến cố đối ta có $$P\left( N \right) = 1 - P\left( {\bar N} \right) = 1 - P\left( {{A_0}} \right) = 1 - \frac{1}{{30}} = \frac{{29}}{{30}}.$$
Cách 2. Tính theo công thức biến cố đối. Rõ ràng ${\bar A}$ là biến cố "không có bi đỏ nào được rút ra", hay $\bar N = {A_0}.$ Theo công thức tính xác suất của biến cố đối ta có $$P\left( N \right) = 1 - P\left( {\bar N} \right) = 1 - P\left( {{A_0}} \right) = 1 - \frac{1}{{30}} = \frac{{29}}{{30}}.$$
Nhận xét 1. Cách 2 sẽ tỏ ra hiệu quả hơn nếu như trong ví dụ này ta tăng số lượng bi lên khá lớn.
Công thức cộng xác suất thứ hai. Cho $A$ và $B$ là hai biến cố bất kì thì xác suất của biến cố hợp $A \cup B$ được tính theo công thức $$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right).$$
Nhận xét 2. Khi $A$ và $B$ xung khắc nhau thì $A \cap B = \emptyset $. Suy ra $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( \emptyset \right) = 0.$ Khi đó Công thức cộng thứ 2 sẽ trở thành Công thức cộng thứ nhất. Nói cách khác, Công thức thứ nhất là một trường hợp đặc biệt của Công thức cộng thứ hai.
Công thức cộng xác suất thứ hai. Cho $A$ và $B$ là hai biến cố bất kì thì xác suất của biến cố hợp $A \cup B$ được tính theo công thức $$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right).$$
Nhận xét 2. Khi $A$ và $B$ xung khắc nhau thì $A \cap B = \emptyset $. Suy ra $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( \emptyset \right) = 0.$ Khi đó Công thức cộng thứ 2 sẽ trở thành Công thức cộng thứ nhất. Nói cách khác, Công thức thứ nhất là một trường hợp đặc biệt của Công thức cộng thứ hai.
Ví dụ 3. Trong ngày hội trại 26/3, cô giáo chủ nhiệm tổ chức cho một nhóm 30 bạn học sinh của cả lớp 11A tham gia hai tiết mục văn nghệ tốp ca và tốp múa. Có 15 bạn tham gia tốp ca, 10 bạn tham gia tốp múa và 6 bạn tham gia cả hai. Chọn một bạn học sinh bất kì trong lớp 11A, tính xác suất để bạn học sinh này tham gia một trong hai tiết mục văn nghệ tốp ca hoặc tốp múa.
Giải. Xét các biến cố
$A:$ bạn được chọn tham gia tốp ca;
$B:$ bạn được chọn tham gia tốp múa.
$B:$ bạn được chọn tham gia tốp múa.
Vì mỗi học sinh có thể tham gia cả hai tiết mục nên hai biến cố này không xung khắc nhau. Ta có các biến cố
${A \cap B:}$ bạn được chọn tham gia cả hai tiết mục;
${A \cup B:}$ bạn được chọn tham gia tốp ca hoặc tốp múa, cũng là biến cố cần tính xác suất.
${A \cup B:}$ bạn được chọn tham gia tốp ca hoặc tốp múa, cũng là biến cố cần tính xác suất.
Theo Công thức cộng xác suất thứ hai ta có $$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{15}}{{30}} + \frac{{10}}{{30}} - \frac{6}{{30}} = \frac{{19}}{{30}}.$$
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh