Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

Khai triển Nhị thức Newton*. Ta mở đầu bằng hai khai triển quen thuộc

$$ \begin{array}{l}{{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}};\\{{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}.\end{array}$$

Thực ra, ta dễ dàng có được hai khai triển trên bằng cách nhân phân phối $ {{\left( a+b \right)}^{2}}=\left( a+b \right)\left( a+b \right)$ và $ {{\left( a+b \right)}^{3}}=\left( a+b \right)\left( a+b \right)\left( a+b \right).$ Tuy nhiên nếu như lũy thừa bậc cao hơn, ví dụ như $ {{\left( a+b \right)}^{7}}$ chẵn hạn, thì chuyện nhân phân phối này không khả thi.

Người ta đã chứng minh công thức tổng quát như sau

$$ {{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}{{b}^{0}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}{{b}^{1}}+C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+...+C_{n}^{n-1}{{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{a}^{0}}{{b}^{n}},$$

và công thức này được gọi là Khai triển nhị thức Newton.

Với công thức này thì ta dễ dàng khai triển các lũy thứa bậc cao.

Ví dụ 1. Áp dụng công thức Khai triển nhị thức Newton cho trương hợp $ n=7$, ta có
$$ \begin{array}{l}{{\left( a+b \right)}^{7}}=C_{7}^{0}{{a}^{7}}{{b}^{0}}+C_{7}^{1}{{a}^{6}}{{b}^{1}}+C_{7}^{2}{{a}^{5}}{{b}^{2}}+C_{7}^{3}{{a}^{4}}{{b}^{3}}+C_{7}^{4}{{a}^{3}}{{b}^{4}}+C_{7}^{5}{{a}^{2}}{{b}^{5}}+C_{7}^{6}{{a}^{1}}{{b}^{6}}+C_{7}^{7}{{a}^{0}}{{b}^{7}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={{a}^{7}}+7{{a}^{6}}b+21{{a}^{5}}{{b}^{2}}+35{{a}^{4}}{{b}^{3}}+35{{a}^{3}}{{b}^{4}}+21{{a}^{2}}{{b}^{5}}+7a{{b}^{6}}+{{b}^{7}}.\end{array}$$
Sự đối xứng của các hệ số trong khai triển Newton. Như ta đã biết công thức $C_n^k = C_n^{n - k}$ (ở bài Chỉnh hợp và Tổ hợp). Từ đó ta dễ dàng thấy được sự đối xứng sau$$ {{\left( a+b \right)}^{n}}=\underline{C_{n}^{0}}{{a}^{n}}{{b}^{0}}+\underline{\underline{C_{n}^{1}}}{{a}^{n-1}}{{b}^{1}}+...+\underline{\underline{C_{n}^{n-1}}}{{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+\underline{C_{n}^{n}}{{a}^{0}}{{b}^{n}}.$$

Ví dụ 2. Ta dễ dàng thấy sự đối xứng trong hệ số của khai triển ở Ví dụ 1$$ {{\left( a+b \right)}^{7}}={{a}^{7}}+\underline{7}{{a}^{6}}b+\underline{\underline{21}}{{a}^{5}}{{b}^{2}}+\underrightarrow{35}{{a}^{4}}{{b}^{3}}+\underrightarrow{35}{{a}^{3}}{{b}^{4}}+\underline{\underline{21}}{{a}^{2}}{{b}^{5}}+\underline{7}a{{b}^{6}}+{{b}^{7}}.$$
Tam giác Pascal** . Ta có thể dùng tam giác Pascal để tìm hệ số của khai triển nhị thức Newton. Quan sát hình sau

​
Một điều thú vị trong tam giác này là sự hiện diện của tính chất $ \left( ii \right)$ ở bài Chỉnh hợp và Tổ hợp. Ví dụ $ C_{1}^{0}+C_{1}^{1}=C_{2}^{1},C_{2}^{1}+C_{2}^{2}=C_{3}^{2}.$ Bằng cách này, ta có thể bổ sung vào tam giác Pascal cho các trường hợp $ n=4,n=5,...$ Mời các bạn hãy viết ra giấy và thử làm nhé !

Số hạng tổng quát trong khai triển Nhị thức Newton

$$ {{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}{{b}^{0}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}{{b}^{1}}+...+\underbrace{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}_{k+1}+...+C_{n}^{n}{{a}^{0}}{{b}^{n}}.$$
Như vậy trong khai triển Nhị thức Newton thì số hạng tổng quát thứ $ k+1$ có dạng $ {{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}.$

Ví dụ 3. Tìm số hạng chứa $ {{x}^{8}}$ trong khai triển $ {{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{10}}$.
Giải. Số hạng tổng quát của khai triển là $ T=C_{10}^{k}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{10-k}}{{2}^{k}}=C_{10}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{20-2k}}.$

Để nhận được số hạng chứa $ {{x}^{8}}$ ta đồng nhất $ 20-2k=8\Leftrightarrow k=6.$

Thay $ k=6$ vào $ T$ ta được số hạng chứa $ {{x}^{8}}$ là $ T=C_{10}^{6}{{2}^{6}}{{x}^{8}}=13440{{x}^{8}}.$

*Isaac Newton Jr. là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học, nhà toán học, nhà thần học và nhà giả kim người Anh, được nhiều người cho rằng là nhà khoa học vĩ đại và có tầm ảnh hưởng lớn nhất. Theo lịch Julius, ông sinh ngày 25 tháng 12 năm 1642 và mất ngày 20 tháng 3 năm 1727; theo lịch Gregory, ông sinh ngày 4 tháng 1 năm 1643 và mất ngày 31 tháng 3 năm 1727.

**Blaise Pascal (tiếng Pháp: [blɛz paskal]; 19 tháng 6, 1623 – 19 tháng 8, 1662) là nhà toán học, vật lý, nhà phát minh, tác gia, và triết gia Cơ Đốc người Pháp. Là cậu bé thần đồng, Pascal tiếp nhận nền giáo dục từ cha, một quan chức thuế vụ tại Rouen. Nghiên cứu đầu tay của Pascal là trong lĩnh vực tự nhiên và khoa học ứng dụng, là những đóng góp quan trọng cho nghiên cứu về chất lưu, và làm sáng tỏ những khái niệm về áp suất vàchân không bằng cách khái quát hóa công trình của Evangelista Torricelli. Pascal cũng viết để bảo vệ phương pháp khoa học.

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)