Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

Quy tắc cộng. Giả sử hành động $  H $ được thực hiện theo hai phương án. Nếu phương án một có $  {m_1} $ cách chọn, phương án hai có $  {m_2} $ cách chọn và không có cách nào để thực hiện đồng thời cả hai phương án thì sẽ có $  {m_1} + {m_2} $ cách chọn để thực hiện hành động $  H $. 

Quy tắc nhân. Giả sử hành động $  K $ gồm $  k $ giai đoạn liên tiếp. Nếu ở giai đoạn 1 có $  n_1 $ cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn ở giai đoạn 1, giai đoạn 2 có $  n_2 $ cách chọn. .... Ứng với mỗi cách chọn ở giai đoạn  giai đoạn $  k-1 $, giai đoạn $  k $ có $  n_k $ cách chọn. Khi đó có tất cả $  n_1 n_2 ... n_k $ cách chọn để thực hiện hành động $  K $.

Ví dụ 1. Bạn An có 3 kiểu áo và 4 kiểu quần. Hỏi bạn An có bao nhiêu cách kết hợp áo-quần khác nhau?

Ví dụ 2. Có bao nhiêu cách lập một mã PIN cho thẻ rút tiền ATM gồm 4 ký tự, trong đó 3 ký tự đầu mỗi ký từ là một chữ số, còn ký từ sau cùng là một chữ cái trong 26 chữ cái alphabet.
Giải. Giả sử mã PIN cần lập có dạng $\overline {\alpha \beta \gamma \mu } $. Khi đó $\alpha ,\beta ,\gamma  \in \left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\},\;\mu  \in \left\{ {a,b,c,...,x,y,z} \right\}.$ Suy ra 

$\alpha$ có $10$ cách chọn;
Ứng với mỗi cách chọn của $\alpha$ có đúng $10$ cách chọn cho $\beta$;
Ứng với mỗi cách chọn của $\beta$ có đúng $10$ cách chọn cho $\gamma$;
Ứng với mỗi cách chọn của $\gamma$ có đúng $26$ cách chọn cho $\mu$.

Áp dụng quy tắc nhân thì số cách lập mã PIN thoả yêu cầu đề bài là: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 26 = 26000.$

Ví dụ 3. Có bao nhiêu cách lập một số gồm 4 chữ số ?

Giải. Giả sử số có 4 chữ số có dạng $ \overline{abcd}$ . Khi đó $ a,b,c,d\in \left\{ 0,1,2,...,9 \right\}$ .

• $  a \ne 0$ nên $  a$ có $  9$ cách chọn;
• Ứng với mỗi cách chọn $ a$ thì $  b$ có đúng $ 10$ cách chọn;
• Ứng với mỗi cách chọn $  b$ thì $  c$ có đúng $  10$ cách chọn;
• Ứng với mỗi cách chọn $  c$ thì $  d$ có  đúng $  10 $ cách chọn.

• $  a \ne 0$ nên $  a$ có $  9$ cách chọn;
• Sau khi đã chọn $  a$, vì $  b \ne a $ nên$  b$ có $  9$ cách chọn;
• Sau khi đã chọn $  b$, vì $  c \ne a,b$ nên $  c$ có $  8$ cách chọn;
• Sau khi đã chọn $  c$, vì $  d \ne a,b,c$ nên $  d$ có $  7$ cách chọn.

• Sau khi đã chọn $  d$, vì $  a \ne d = 0$ nên $  a$ có $  9$ cách chọn;
• Sau khi đã chọn $  a$, vì $  b \ne a,d$ nên $  b$ có $  8$ cách chọn;
• Sau khi đã chọn $  b$, và $  c \ne a,b,d$ nên $  c$ có $  7$ cách chọn.

• Sau khi đã chọn $  d$, vì $  a \ne d,0$ nên $  a$ có $  8$ cách chọn;
• Sau khi đã chọn $  a$, vì $  b \ne a,d$ nên $  b$ có $  8$ cách chọn;
• Sau khi đã chọn $  b$, và $  c \ne a,b,d$ nên $  c$ có $  7$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân thì riêng trường hợp này ta có $  4.8.8.7 = 1792$ cách lập.

Vậy theo quy tắc cộng thì có tất cả $  504 + 1792 = 2296$ cách lập theo yêu cầu đề bài.

Chú ý. Ở Ví dụ sau cùng này ta buộc phải chia ra hai trường hợp là vì số cần lập là số chẵn nên số cách chọn của $a$ nó phụ thuộc vào $d = 0$ hoặc $d \ne 0$. Cụ thể, nếu $d=0$ thì $a$ có $9$ cách chọn; còn nếu $d \ne 0$ thì $a$ có $8$ cách chọn. Đây là điểm cần lưu ý khi áp dụng quy tắc nhân, điều mà ngay khi phát biểu quy tắc nhân ta đã nhấn mạnh "Ứng với mỗi cách chọn ở giai đoạn  giai đoạn $  k-1 $, giai đoạn $  k $ có $  n_k $ cách chọn."
 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)