Phương trình đường thẳng trong không gian: tham số và chính tắc

Cập nhật: 22/10/2026

Một điểm và một vectơ chỉ phương khác vectơ không xác định một đường thẳng. Từ hai dữ kiện này, ta viết phương trình tham số, rồi chuyển sang dạng chính tắc khi các mẫu số phù hợp.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Dạng tham số và dạng chính tắc

Cho $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và $\vec u=(a;b;c)\ne\vec0$. Điểm $M(x;y;z)$ thuộc đường thẳng qua $M_0$ có chỉ phương $\vec u$ đúng khi $\overrightarrow{M_0M}=t\vec u$ với một số thực $t$. Vì vậy phương trình tham số là

Cả ba tọa độ phải dùng cùng một giá trị $t$. Nếu $a,b,c$ đều khác $0$, khử tham số được phương trình chính tắc

Nếu một tọa độ của chỉ phương bằng $0$, giữ tọa độ tương ứng của điểm là hằng số. Chẳng hạn, qua $M_0(1;2;3)$ với chỉ phương $(2;0;-1)$, ta viết $y=2$ và $(x-1)/2=(z-3)/(-1)$. Không viết một phân thức có mẫu bằng $0$. Dạng tham số vẫn dùng được trong mọi trường hợp $\vec u\ne\vec0$.

2. Cách chọn điểm và chỉ phương

Qua hai điểm: nếu $A\ne B$, chọn điểm $A$ và chỉ phương $B-A$. Khi đổi sang một điểm khác thuộc đường thẳng hoặc nhân chỉ phương với số khác $0$, phương trình có thể thay đổi nhưng tập điểm của đường thẳng không đổi.

Là giao tuyến hai mặt phẳng: với $(P):A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ và $(Q):A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$, trước hết kiểm tra hai pháp tuyến không cùng phương. Khi đó hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng; chọn một nghiệm chung làm điểm đi qua và lấy tích có hướng hai pháp tuyến làm chỉ phương.

Nếu hai pháp tuyến cùng phương, hệ hai phương trình có thể xác định hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau; không được kết luận hệ xác định một đường thẳng. Khi tìm một nghiệm chung, nếu giá trị tọa độ đã chọn làm hệ vô nghiệm, hãy chọn cách giải khác thay vì suy ra giao tuyến không tồn tại.

3. Bốn ví dụ

Ví dụ 1. Biết điểm và chỉ phương

Qua $M_0(-5;4;6)$, có chỉ phương $(-1;2;-3)$, đường thẳng có các phương trình

Thay $t=0$ thu lại đúng điểm $M_0$; các hệ số của $t$ đúng bằng tọa độ chỉ phương.

Ví dụ 2. Qua hai điểm phân biệt

Cho $A(1;2;4)$ và $B(3;-1;1)$. Vì $B-A=(2;-3;-3)\ne\vec0$, đường thẳng $AB$ có phương trình

Với $t=0$ được $A$; với $t=1$ được $B$. Hai phép thế này kiểm tra cả điểm đi qua và hướng của đường thẳng.

Ví dụ 3. Đọc điểm và đổi dạng phương trình

Đặt giá trị chung trong phương trình $d_1$ bằng $s$. Ta được $x=1+s$, $y=-2-4s$, $z=3+2s$. Chọn $s=0,1$ lần lượt được hai điểm $(1;-2;3)$ và $(2;-6;5)$; một chỉ phương là $(1;-4;2)$.

Với $d_2$, chọn $t=0,1$ lần lượt được $(2;0;3)$ và $(1;1;0)$. Chỉ phương là $(-1;1;-3)$, nên phương trình chính tắc là

Ví dụ 4. Giao tuyến hai mặt phẳng

Hai pháp tuyến $(2;3;1)$ và $(1;-1;2)$ có tích có hướng $(7;-3;-5)\ne\vec0$. Điểm $A(1;1;1)$ thỏa cả hai phương trình. Do đó

Thay dạng tham số vào hai phương trình mặt phẳng, các hệ số của $t$ lần lượt là $14-9-5=0$ và $7+3-10=0$; các hằng số cũng bằng $0$. Vì vậy mọi điểm của đường thẳng đều thuộc cả hai mặt phẳng.

4. Tự luyện

1. Viết phương trình đường thẳng qua $A(1;0;0)$, $B(1;2;0)$.
2. Với $x=1+2t$, $y=-1+t$, $z=3-t$, kiểm tra $M(5;1;1)$ có thuộc đường thẳng hay không.
3. Viết phương trình giao tuyến hai mặt phẳng $x+y=1$ và $z=2$.

Lỗi cần tránh: đặt nhầm $y$ thành $z$ trong phân thức; bỏ tọa độ hằng khi chỉ phương có thành phần $0$; dùng ba tham số độc lập; chỉ kiểm tra hai trong ba tọa độ; dùng tích có hướng bằng $\vec0$ làm chỉ phương.

5. Học tiếp và tài liệu

Vectơ chỉ phương · Phương trình mặt phẳng · Hai đường thẳng cắt nhau · Hai đường thẳng song song.

Tài liệu gốc trên Scribd.