Hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng trong Oxyz

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Muốn tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng, ta đi từ điểm đó theo phương pháp tuyến và tìm giao điểm với mặt phẳng. Bài học này giải thích cách lập công thức, trình bày ví dụ và hướng dẫn kiểm tra kết quả.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Video · Tự luyện

1. Hình chiếu được xác định như thế nào?

Nếu $M$ không thuộc mặt phẳng $(P)$, hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$ là điểm $H$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: $H\in(P)$ và đường thẳng $MH$ vuông góc với $(P)$. Vì vectơ pháp tuyến $\vec n$ vuông góc với $(P)$, đường thẳng qua $M$ có phương $\vec n$ cắt $(P)$ tại điểm cần tìm.

Nếu $M\in(P)$ thì hình chiếu chính là $M$. Khi đó $H=M$; ta không gọi $MH$ là một đường thẳng vì hai điểm trùng nhau.

2. Phương pháp và công thức tọa độ

Trong không gian $Oxyz$, cho $M(x_0;y_0;z_0)$ và mặt phẳng

với $a^2+b^2+c^2>0$. Khi đó $\vec n=(a;b;c)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$.

Bước 1. Viết đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$:

Dấu trừ là cách chọn tham số trong bài này. Với cách chọn đó, mọi điểm trên $\Delta$ đều có tọa độ $(x_0-at;y_0-bt;z_0-ct)$.

Bước 2. Tìm giao điểm $H$ của $\Delta$ với $(P)$. Thay tọa độ trên vào phương trình mặt phẳng:

Thu gọn, ta được

Vì $a^2+b^2+c^2>0$, phương trình xác định duy nhất giá trị

Nếu $M\in(P)$ thì tử số bằng $0$, nên $t=0$ và $H=M$. Nếu $M\notin(P)$ thì $t\ne0$ và $\overrightarrow{MH}=-t\vec n$ là vectơ khác $\vec0$ cùng phương với pháp tuyến; do đó $MH\perp(P)$.

Bước 3. Kiểm tra đáp án. Thay tọa độ $H$ vào phương trình $(P)$. Nếu $H\ne M$, kiểm tra thêm $\overrightarrow{MH}$ cùng phương với $\vec n$. Chỉ kiểm tra $H\in(P)$ thì chưa đủ để kết luận $H$ là hình chiếu.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tọa độ nguyên

Tìm hình chiếu vuông góc của $M(2;1;3)$ lên mặt phẳng $(P):x-y+z-1=0$.

Lời giải. Một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec n=(1;-1;1)$. Đường thẳng qua $M$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình

Thay vào phương trình $(P)$, ta được

hay $3-3t=0$, nên $t=1$. Vì vậy $H(1;2;2)$.

Kiểm tra: $1-2+2-1=0$, nên $H\in(P)$. Mặt khác, $\overrightarrow{MH}=(-1;1;-1)=-\vec n$, nên $MH\perp(P)$. Vậy $H(1;2;2)$ là hình chiếu cần tìm.

Ví dụ 2. Hệ số âm và tọa độ phân số

Tìm hình chiếu vuông góc của $M(1;2;0)$ lên mặt phẳng $(P):2x-y+2z+3=0$.

Lời giải. Ta có $a=2$, $b=-1$, $c=2$, $d=3$. Do đó

Tính từng tọa độ của $H$:

Vậy $H\left(\frac13;\frac73;-\frac23\right)$. Chú ý: ở tọa độ thứ hai, trừ một số âm thành cộng.

Kiểm tra: $\frac23-\frac73-\frac43+3=0$ và $\overrightarrow{MH}=\left(-\frac23;\frac13;-\frac23\right)=-\frac13(2;-1;2)$. Hai điều kiện của hình chiếu đều thỏa mãn.

Ví dụ 3. Chiếu lên mặt phẳng tọa độ

Cho $M(-2;3;5)$. Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z=0$ và một vectơ pháp tuyến là $(0;0;1)$. Vì vậy hình chiếu của $M$ lên $(Oxy)$ là $H(-2;3;0)$.

Tổng quát, với $M(x_0;y_0;z_0)$:

• Chiếu lên $(Oxy)$: $H(x_0;y_0;0)$.
• Chiếu lên $(Oyz)$: $H(0;y_0;z_0)$.
• Chiếu lên $(Oxz)$: $H(x_0;0;z_0)$.

Quy tắc đặt một tọa độ bằng $0$ chỉ áp dụng cho mặt phẳng tọa độ tương ứng, không áp dụng cho mọi mặt phẳng.

4. Video bài giảng

Video dưới đây hướng dẫn ví dụ 1. Trong video, đường thẳng được viết theo chiều tham số ngược với cách đặt trong bài; đường thẳng và hình chiếu thu được vẫn như nhau.

Mở video trên YouTube.

5. Bài tập tự luyện

Hãy tự tìm $H$ rồi kiểm tra kết quả trước khi mở đáp án.

1. Tìm hình chiếu của $M(1;0;2)$ lên $(P):x+y+z=0$.
2. Tìm hình chiếu của $M(1;-1;2)$ lên $(P):2x+2y+z-1=0$.
3. Tìm hình chiếu của $M(-4;2;-3)$ lên mặt phẳng $(Oyz)$.
4. Tìm hình chiếu của $M(1;2;-1)$ lên $(P):x-y+2z+3=0$.

6. Những lỗi cần tránh

• Đọc sai dấu của hệ số tự do $d$: hãy đưa phương trình mặt phẳng về dạng $ax+by+cz+d=0$ trước khi thay số.
• Dùng sai mẫu số: mẫu số của $t$ là $a^2+b^2+c^2$, không phải căn bậc hai của tổng này.
• Tự ý lấy giá trị tuyệt đối ở tử số: cần giữ nguyên dấu của $t$ để xác định đúng tọa độ $H$.
• Trộn hai cách đặt tham số: trong bài này dùng $H(x_0-at;y_0-bt;z_0-ct)$ với công thức $t$ đã nêu.
• Chỉ kiểm tra điểm nằm trên mặt phẳng mà bỏ qua điều kiện phương vuông góc khi $H\ne M$.

Điều cần nhớ: đi theo phương pháp tuyến, dùng điều kiện $H\in(P)$ để tìm tham số, rồi kiểm tra kết quả. Nếu $M$ đã thuộc $(P)$ thì hình chiếu là chính $M$.

7. Học tiếp và tài liệu bổ sung

• Ôn nền tảng: Hệ tọa độ vuông góc trong không gian.
• Học tiếp: Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.
• Tài liệu bài tập bổ sung trên Scribd (liên kết ngoài).