Phương trình đoạn chắn và chính tắc của đường thẳng

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Dạng đoạn chắn dùng giao điểm với hai trục, còn dạng chính tắc dùng một điểm và một chỉ phương. Hai dạng có điều kiện mẫu số riêng và không thay thế cho nhau.

Trong bài: Kiến thức · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Phương trình theo đoạn chắn

Nếu đường cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại $A(a;0)$, $B(0;b)$, với $ab\ne0$, thì

Hai điểm này phân biệt và đều thỏa phương trình, nên xác định đường $AB$. Các số $a,b$ là tọa độ có dấu, không nhất thiết dương. Từ $Ax+By+C=0$, có thể lấy $a=-C/A$, $b=-C/B$ nếu $ABC\ne0$. Khi $C=0$ đường qua gốc không có dạng đoạn chắn bằng 1 với hai mẫu hữu hạn khác 0; khi $A=0$ hoặc $B=0$, một giao điểm với trục không hữu hạn hoặc không duy nhất.

2. Phương trình chính tắc và mẫu số 0

Đường qua $M_0(x_0;y_0)$, có chỉ phương $(u;v)$ với $uv\ne0$, có dạng chính tắc

Đẳng thức xuất phát từ hai biểu thức của cùng tham số $t$. Nếu $u=0$, $v\ne0$ thì đường có phương trình $x=x_0$; nếu $v=0$, $u\ne0$ thì $y=y_0$. Không viết một phân số có mẫu 0. Dạng tham số luôn dùng được khi $(u;v)\ne(0;0)$.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hai đoạn chắn đã biết

Đường qua $A(2;0)$ và $B(0;3)$ có phương trình $x/2+y/3=1$, tương đương $3x+2y-6=0$. Thay hai điểm kiểm tra được cả hai đều thuộc đường.

Ví dụ 2. Đoạn chắn có dấu âm

Cho $3x-2y+6=0$. Đặt $y=0$ được $x=-2$; đặt $x=0$ được $y=3$. Vì thế dạng đoạn chắn là $x/(-2)+y/3=1$. Không thay $-2$ bằng độ dài $2$, vì sẽ đổi đường thẳng.

Ví dụ 3. Tính đoạn chắn từ đúng phương trình tham số

Cho $x=-1+2t$, $y=2-3t$. Tại giao điểm với $Ox$, $2-3t=0$ cho $t=2/3$, nên $x=1/3$. Tại giao điểm với $Oy$, $-1+2t=0$ cho $t=1/2$, nên $y=1/2$. Do đó

Thay tham số vào dạng tổng quát cho $3(-1+2t)+2(2-3t)-1=0$ với mọi $t$, xác nhận kết quả.

Ví dụ 4. Từ điểm và chỉ phương đến chính tắc

Đường qua $M(2;3)$ có chỉ phương $(-2;1)$ viết được $(x-2)/(-2)=(y-3)/1$, vì cả hai thành phần đều khác 0. Nhân chéo cho $x+2y-8=0$, thỏa điểm $M$ và có pháp tuyến $(1;2)$ vuông góc với $(-2;1)$.

Ví dụ 5. Đổi một phương trình tham số khác

Với $x=-4+2t$, $y=3-3t$, ta có $t=(x+4)/2=(y-3)/(-3)$. Vậy dạng chính tắc là $(x+4)/2=(y-3)/(-3)$. Đường này có các đoạn chắn $-2,-3$; đó là dữ kiện khác với phương trình ở ví dụ 3.

4. Bài tập tự luyện

1. Viết dạng đoạn chắn của $4x+2y-8=0$.
2. Qua $M(1;-2)$ có chỉ phương $(0;5)$: có thể dùng hai phân thức chính tắc không? Hãy viết phương trình hợp lệ.
3. Tìm đoạn chắn của $x=1+2t$, $y=-3+t$, với $t\in\mathbb R$.

5. Những lỗi cần tránh

• Nhầm hai mẫu của dạng đoạn chắn với hai thành phần chỉ phương.
• Đổi tọa độ âm thành độ dài dương.
• Chia cho 0 hoặc dùng dạng đoạn chắn bằng 1 cho đường qua gốc.
• Trộn dữ kiện của hai phương trình tham số khác nhau khi tính giao điểm.

6. Bài học liên quan và tài liệu

• Phương trình tổng quát
• Phương trình tham số
• Hệ số góc của đường thẳng

Mở tài liệu bài tập gốc trên Scribd. Bài viết đã có phần tự luyện kèm đáp án.

Hình của tài liệu cũ để đối chiếu: Hình 1.