Phương trình tham số của đường thẳng trong Oxy

2016-03-25 huynhvietkhanh Đã xem: 30,856 Phản hồi: 0

Lập phương trình tham số từ điểm và chỉ phương hoặc qua hai điểm; đổi sang dạng tổng quát và kiểm tra miền tham số.

THPTHình học giải tích phẳng

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Phương trình tham số biểu diễn mọi điểm của một đường bằng một điểm gốc và các bội của một chỉ phương. Cùng một giá trị tham số phải dùng đồng thời ở cả hai tọa độ.

Mục tiêu: đọc và lập phương trình tham số, đổi sang dạng tổng quát; kiểm tra điểm thuộc đường và các trường hợp chỉ phương có tọa độ 0.

Kiến thức cần biết: tọa độ vectơ, chỉ phương khác vectơ không và pháp tuyến.

Trong bài: Kiến thức · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Điểm gốc và chỉ phương

Đường qua $M_0(x_0;y_0)$, có chỉ phương $\vec u=(a;b)\ne\vec0$, gồm các điểm $M=M_0+t\vec u$, với $t\in\mathbb R$. Do đó

$$d:\begin{cases}x=x_0+at,\\y=y_0+bt,\end{cases}\qquad t\in\mathbb R.$$

Mọi $t$ cho một điểm trên đường; ngược lại, mọi điểm trên đường được biểu diễn như vậy. Vì chỉ phương khác $\vec0$, hai tham số khác nhau cho hai điểm khác nhau. Nếu $a=b=0$, biểu thức chỉ cho một điểm cố định, không phải đường thẳng.

Tham số không mặc nhiên là khoảng cách. Độ dài $M_0M=|t|\sqrt{a^2+b^2}$. Đẳng thức $M_0M=|t|$ đúng với mọi $t$ khi và chỉ khi chỉ phương có độ dài $1$; riêng tại $t=0$, hai vế luôn cùng bằng $0$. Đổi điểm gốc hoặc nhân chỉ phương với số khác $0$ có thể cho phương trình tham số khác của cùng đường.

2. Lập phương trình và đổi dạng

Qua hai điểm phân biệt $A,B$, chọn $\vec u=\overrightarrow{AB}$ và lấy $A$ làm điểm gốc. Để đổi sang tổng quát, từ chỉ phương $(a;b)$ chọn pháp tuyến $(b;-a)$ rồi viết

$$b(x-x_0)-a(y-y_0)=0.$$

Cách này không chia cho $a$ hoặc $b$, nên vẫn đúng khi có một tọa độ chỉ phương bằng $0$. Ngược lại, từ $Ax+By+C=0$, chọn chỉ phương $(-B;A)$ và tìm một điểm thuộc đường để viết tham số.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Đọc chỉ phương và lấy hai điểm

Cho $d:x=2+3t$, $y=-1-t$, với $t\in\mathbb R$. Chỉ phương là $(3;-1)$. Khi $t=0$, nhận $M_1(2;-1)$; khi $t=1$, nhận $M_2(5;-2)$. Hiệu tọa độ $\overrightarrow{M_1M_2}=(3;-1)$ đúng bằng chỉ phương.

Ví dụ 2. Qua một điểm và có chỉ phương

Qua $M(2;3)$, có chỉ phương $(1;4)$, đường cần tìm là $x=2+t$, $y=3+4t$, $t\in\mathbb R$. Với pháp tuyến $(4;-1)$, dạng tổng quát là $4(x-2)-(y-3)=0$, tức là $4x-y-5=0$.

Ví dụ 3. Qua hai điểm phân biệt

Cho $A(2;-3)$, $B(3;2)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;5)\ne\vec0$, nên viết $x=2+t$, $y=-3+5t$. Các giá trị $t=0$ và $t=1$ lần lượt cho đúng $A,B$. Nếu hai điểm trùng nhau thì không được dùng hiệu tọa độ bằng $\vec0$ làm chỉ phương.

Ví dụ 4. Hai chỉ phương từ dạng tổng quát

Với $2x+3y-1=0$, pháp tuyến là $(2;3)$. Chọn hai chỉ phương $(-3;2)$ và $(3;-2)$. Chúng ngược chiều, đều vuông góc với pháp tuyến và mô tả cùng phương của đường.

Ví dụ 5. Đổi phương trình tham số sang tổng quát

Với $x=2+3t$, $y=-1-t$, chọn pháp tuyến $(1;3)$ và điểm $M(2;-1)$. Ta được $(x-2)+3(y+1)=0$, tức là $x+3y+1=0$. Thay các biểu thức tham số vào vế trái cho $(2+3t)+3(-1-t)+1=0$ với mọi $t$.

4. Bài tập tự luyện

Viết đường qua $(1;2)$ có chỉ phương $(0;3)$ và nêu dạng tổng quát.
Trên đường của ví dụ 1, điểm $P(8;-3)$ có thuộc đường không? Điểm $Q(8;3)$ thì sao?
Vì sao hai điểm trùng nhau không xác định một chỉ phương qua hiệu tọa độ?

Mở đáp án và gợi ý

$x=1$, $y=2+3t$, $t\in\mathbb R$; dạng tổng quát là $x-1=0$.
Với $x=8$ phải có $t=2$. Khi đó $y=-3$, nên $P$ thuộc đường, còn $Q$ không thuộc.
Hiệu tọa độ là $(0;0)$, không có phương. Cần một điểm khác hoặc một chỉ phương khác 0.

5. Những lỗi cần tránh

Dùng hai tham số khác nhau cho hai tọa độ của cùng một điểm trên một đường.
Quên điều kiện chỉ phương khác vectơ không.
Chia cho thành phần chỉ phương bằng $0$ khi đổi dạng.
Cho rằng hai phương trình khác điểm gốc hoặc khác chỉ phương nhất thiết là hai đường khác nhau.

6. Bài học liên quan và tài liệu

Mở tài liệu bài tập gốc trên Scribd. Bài viết đã có phần tự luyện kèm đáp án.

Hình của tài liệu cũ để đối chiếu: Hình 1.