Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong Oxy

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Hai đường trong mặt phẳng có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau. Giải hệ hai phương trình vừa tìm giao điểm vừa xác định đúng vị trí; không có trường hợp chéo nhau trong Oxy.

Trong bài: Kiến thức · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Số nghiệm của hệ hai đường

Cho $d_i:a_ix+b_iy+c_i=0$ ($i=1,2$), với $(a_i;b_i)\ne(0;0)$ ở mỗi đường. Tọa độ điểm chung là nghiệm của hệ

• Hệ có duy nhất một nghiệm: hai đường cắt nhau tại điểm có tọa độ nghiệm ấy.
• Hệ vô nghiệm: hai đường song song phân biệt.
• Hệ có vô số nghiệm: hai đường trùng nhau.

Chỉ nói hệ “có nghiệm” chưa đủ kết luận hai đường cắt nhau tại một điểm, vì còn trường hợp trùng nhau. Cũng phải kiểm tra cả hai phương trình có thật sự là đường thẳng trước khi áp dụng phân loại.

2. Dùng định thức và kiểm tra hệ số

Đặt $D=a_1b_2-a_2b_1$. Nếu $D\ne0$, hệ có duy nhất nghiệm

Nếu $D=0$, hai pháp tuyến cùng phương. Chọn một điểm $M$ trên $d_1$: nếu $M\in d_2$ thì hai đường trùng, nếu không thì song song phân biệt. Có thể kiểm tra tương đương bằng hai biểu thức $a_1c_2-a_2c_1$ và $b_1c_2-b_2c_1$: nếu cả hai bằng 0 thì trùng; nếu có biểu thức khác 0 thì song song. Cách này tránh các tỉ số có mẫu 0.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Giải đúng hệ và thay lại

Xét $d_1:2x-5y+3=0$, $d_2:5x+2y-3=0$. Ta có $D=2\cdot2-5(-5)=29\ne0$. Vì vậy

Giao điểm là $M(9/29;21/29)$. Kiểm tra: $2\cdot9/29-5\cdot21/29+3=0$ và $5\cdot9/29+2\cdot21/29-3=0$. Điểm $(1;-1)$ chỉ thỏa phương trình thứ hai, nên không phải điểm chung.

Ví dụ 2. Song song hay trùng?

Với $x-2y+1=0$ và $2x-4y+3=0$, hai pháp tuyến cùng phương. Nhân phương trình đầu với 2 cho $2x-4y+2=0$, mâu thuẫn với phương trình sau nếu có điểm chung. Hai đường song song phân biệt. Nếu thay đường thứ hai bằng $-3x+6y-3=0$, toàn bộ phương trình bằng $-3$ lần phương trình đầu, nên hai đường trùng nhau.

Ví dụ 3. Có hệ số bằng 0 vẫn giải được

Đường $x-2=0$ và $y+1=0$ cắt nhau tại $(2;-1)$. Các pháp tuyến là $(1;0)$ và $(0;1)$, đều khác vectơ không, và $D=1$. Không cần lập các tỉ số với thành phần 0.

4. Bài tập tự luyện

1. Xét $y=x$ và $y=x+2$.
2. Xét $2x+3y-6=0$ và $4x+6y-12=0$.
3. Tìm giao điểm của $x=1$ và $y=-2$.

5. Những lỗi cần tránh

• Chép nhầm hệ số của $y$ hoặc quên đổi dấu $c_i$ sang vế phải.
• Chấp nhận nghiệm mà không thay vào cả hai phương trình.
• Kết luận cắt nhau chỉ từ hệ có nghiệm.
• Dùng các tỉ số hệ số khi một mẫu bằng 0.

6. Bài học liên quan và tài liệu

• Phương trình tổng quát
• Phương trình tham số
• Hệ số góc
• Hình chiếu và đối xứng

Mở tài liệu bài tập gốc trên Scribd. Bài viết đã có phần tự luyện kèm đáp án.