Tìm giao tuyến hai mặt phẳng qua hai điểm chung

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có hai điểm chung phân biệt thì giao tuyến của chúng là đường thẳng qua hai điểm ấy. Điểm chung thứ hai thường được tìm ở mặt phẳng đáy hoặc trên phần kéo dài của các cạnh.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Vì sao hai điểm chung xác định giao tuyến?

Cho hai mặt phẳng phân biệt $(P),(Q)$ có $A,B$ là hai điểm chung, với $A\ne B$. Vì mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng qua hai điểm phân biệt của nó, ta có $AB\subset(P)$ và $AB\subset(Q)$. Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung cắt nhau theo một đường thẳng, nên

Nếu chỉ tìm được một điểm chung, chưa xác định được phương giao tuyến. Nếu hai điểm được đặt tên khác nhau nhưng thực tế trùng nhau, lập luận trên cũng chưa đủ. Nếu hai mặt phẳng trùng, giao của chúng là cả mặt phẳng, không phải một đường.

2. Cách tìm điểm chung thứ hai

1. Ghi một điểm đã biết thuộc cả hai mặt phẳng, thường là đỉnh chung.
2. Chọn một đường thuộc mặt phẳng thứ nhất và một đường thuộc mặt phẳng thứ hai, cùng nằm trong một mặt phẳng phụ dễ xét.
3. Kiểm tra hai đường này cắt nhau; gọi giao điểm là $E$ và chứng minh $E$ thuộc cả hai mặt phẳng.
4. Kiểm tra $E$ khác điểm chung đầu tiên, rồi nối hai điểm.

Giao điểm của hai đường chứa các cạnh có thể nằm ngoài các đoạn cạnh. Điều đó không cản trở việc tìm giao tuyến của các mặt phẳng. Tuy nhiên, nếu đang tìm thiết diện của một khối, phải kiểm tra thêm điểm có thuộc chính cạnh của khối hay chỉ thuộc phần kéo dài.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hai mặt kề của hình hộp

Xét hình hộp không suy biến $ABCD.A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. Hai mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và mặt bên $(ABB^{\prime}A^{\prime})$ phân biệt, cùng chứa hai điểm phân biệt $A,B$. Vì vậy giao tuyến là $AB$. Đây là giao của hai mặt phẳng; giao của hai mặt hình hộp tương ứng là đoạn $AB$.

Ví dụ 2. Hai mặt phẳng chứa đường chéo đáy

Cho hình chóp $S.ABCD$. Giả sử hai đường chéo đáy $AC,BD$ cắt nhau tại $E$, như trong trường hợp đáy là tứ giác lồi. Vì $E\in AC\subset(SAC)$ và $E\in BD\subset(SBD)$, điểm $E$ thuộc cả hai mặt phẳng. Đỉnh $S$ cũng là điểm chung và $S\ne E$ vì $S$ nằm ngoài đáy. Do đó

Hai mặt phẳng này phân biệt: nếu trùng, chúng chứa cả hai đường chéo đáy và cả $S$, trái với $S$ nằm ngoài mặt phẳng đáy. Nếu gặp cấu hình mà hai đường xét trong đáy song song, không được tự đặt $E$; khi đó dùng một điểm chung và phương song song để tìm giao tuyến.

Ví dụ 3. Khi hai cạnh đối có thể song song

Cho hình chóp $S.ABCD$ với $AB>CD$. Tìm giao tuyến của $(SBC)$ và $(SAD)$. Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung $S$. Nếu hai đường $AD,BC$ cắt nhau tại $E$, thì $E\in(SAD)\cap(SBC)$ và $E\ne S$, nên giao tuyến là $SE$. Điểm $E$ có thể ở ngoài các đoạn $AD,BC$.

Điều kiện $AB>CD$ tự nó không bảo đảm $AD,BC$ cắt nhau. Nếu $AD\parallel BC$, giao tuyến là đường thẳng qua $S$ song song với hai đường này. Khi đáy không suy biến, $AD,BC$ là hai đường phân biệt trong cùng mặt phẳng; hai trường hợp trên bao quát việc xét chúng.

4. Bài tập tự luyện

1. Trong hình chóp $S.ABC$, tìm $(SAB)\cap(SAC)$.
2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy lồi, $O=AC\cap BD$. Tìm $(SAC)\cap(SBD)$.
3. Trong ví dụ 3, nếu $AD\parallel BC$, có thể viết $E=AD\cap BC$ như một điểm hữu hạn không? Nên dùng phương pháp nào?

5. Những lỗi cần tránh

• Viết nhầm $(SBD)$ thành $(SBC)$ trong chứng minh ví dụ 2.
• Đặt tên giao điểm của hai đường khi chưa loại trường hợp song song.
• Nhầm giao tuyến của hai mặt phẳng với đoạn chung của hai mặt đa giác.
• Không kiểm tra hai điểm chung phân biệt hoặc hai mặt phẳng phân biệt.

6. Bài học liên quan

• Giao tuyến bằng quan hệ song song
• Giao điểm đường thẳng và mặt phẳng
• Thiết diện

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.