Tìm giao tuyến hai mặt phẳng bằng quan hệ song song

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Khi hai mặt phẳng chứa hai đường cùng phương, phương của giao tuyến có thể biết trước. Kết hợp phương ấy với một điểm chung giúp tìm giao tuyến mà không phải kéo dài cạnh để tìm điểm chung thứ hai.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Phải biết hai mặt phẳng có giao tuyến

Giả sử hai mặt phẳng phân biệt $(\alpha),(\beta)$ cắt nhau theo $\Delta$. Nếu chúng lần lượt chứa hai đường song song $d,d^{\prime}$, thì giao tuyến $\Delta$ có cùng phương với hai đường ấy: nó song song hoặc trùng với mỗi đường tùy vị trí.

Không được bỏ giả thiết có giao tuyến. Hai mặt phẳng song song phân biệt vẫn có thể chứa hai đường thẳng song song với nhau, nhưng không có đường giao tuyến để dựng. Nếu hai mặt phẳng trùng nhau, giao của chúng là mặt phẳng, không phải một đường thẳng duy nhất.

2. Dựng từ điểm chung và phương

Trong bài toán thường biết một điểm chung $A$. Qua $A$, dựng đường $\ell$ cùng phương với $d$. Vì $d\subset(\alpha)$ và $A\in(\alpha)$, đường $\ell$ nằm trong $(\alpha)$; nếu $A\in d$ thì $\ell=d$. Tương tự, từ $d^{\prime}\subset(\beta)$ và $A\in(\beta)$, chính đường $\ell$ này nằm trong $(\beta)$.

Hai mặt phẳng phân biệt chứa chung $\ell$, nên giao tuyến của chúng là $\ell$. Lập luận đồng thời xác định điểm đi qua và phương, không chỉ dự đoán bằng hình vẽ.

1. Xác định một điểm chung $A$ và chứng minh hai mặt phẳng phân biệt.
2. Tìm $d\subset(\alpha)$, $d^{\prime}\subset(\beta)$ có cùng phương.
3. Dựng qua $A$ đường cùng phương ấy và kết luận đó là giao tuyến.
4. Nếu $A$ nằm trên một trong hai đường, ghi đúng trường hợp trùng thay vì song song phân biệt.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hai mặt bên đối của hình chóp

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Tìm giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$. Hai mặt phẳng cùng chứa $S$. Chúng phân biệt: nếu trùng, mặt phẳng chung chứa hai đường song song phân biệt $AB,CD$, nên là mặt phẳng đáy và chứa $S$, mâu thuẫn.

Vì $AB\subset(SAB)$, $CD\subset(SCD)$ và $AB\parallel CD$, giao tuyến là đường qua $S$ song song với $AB$ và $CD$. Đường này không trùng với cạnh đáy vì $S$ nằm ngoài đáy.

Ví dụ 2. Dùng đường trung bình

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$. Tìm $(DMN)\cap(DBC)$. Trong tam giác $ABC$, $MN\parallel BC$. Hai mặt phẳng cần xét cùng chứa $D$. Chúng phân biệt vì $M$ thuộc $AB$ nhưng không thuộc $BC=(ABC)\cap(DBC)$.

Qua $D$, dựng đường $\ell\parallel BC$. Vì $MN\subset(DMN)$ và $BC\subset(DBC)$, đường $\ell$ là giao tuyến. Ta không tìm giao điểm $MN\cap BC$, vì hai đường này song song phân biệt.

Ví dụ 3. Vì sao cần một điểm chung?

Có thể hình dung hai mặt phẳng ngang ở hai độ cao khác nhau, mỗi mặt phẳng chứa một đường theo cùng hướng. Hai đường song song nhưng hai mặt phẳng không có điểm chung, nên không có giao tuyến. Dữ kiện “chứa hai đường song song” chỉ cung cấp phương, chưa cung cấp vị trí và sự tồn tại của giao tuyến.

4. Bài tập tự luyện

1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Tìm $(SAD)\cap(SBC)$.
2. Hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng $d$. Giao tuyến có phải là một đường khác song song với $d$ không?
3. Trong ví dụ 2, đường giao tuyến có đi qua trung điểm $M$ của $AB$ không?

5. Những lỗi cần tránh

• Không kiểm tra hai mặt phẳng phân biệt và có điểm chung.
• Dựng một đường đúng phương nhưng không đi qua điểm chung.
• Kéo dài hai đường song song để đặt một giao điểm hữu hạn.
• Bỏ qua trường hợp giao tuyến trùng với đường đã có.

6. Bài học liên quan

• Giao tuyến qua hai điểm chung
• Giao điểm đường và mặt phẳng
• Đường thẳng song song mặt phẳng
• Thiết diện

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.