Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian – lớp 11

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Hình học không gian nghiên cứu điểm, đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ giữa chúng. Viết đúng ký hiệu và đọc đúng hình biểu diễn là bước đầu để lập luận không phụ thuộc vào cảm giác nhìn hình.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Mặt phẳng và phần hình vẽ

Mặt bảng hoặc mặt nước yên lặng gợi hình ảnh một phần mặt phẳng. Mặt phẳng toán học kéo dài không giới hạn. Ta thường vẽ một hình bình hành để biểu diễn một phần của nó và đặt tên $(P),(Q),(\alpha),(\beta)$. Các cạnh của hình bình hành không phải biên của mặt phẳng.

Điểm được ký hiệu bằng chữ in hoa như $A,B,M$; đường thẳng bằng chữ thường như $a,d$ hoặc bằng hai điểm phân biệt như $AB$. Đoạn thẳng $AB$ chỉ gồm hai đầu mút và các điểm ở giữa, còn đường thẳng $AB$ kéo dài về hai phía. Hai cách hiểu phải được phân biệt theo lời bài toán.

2. Ký hiệu thuộc và chứa

• $A\in d$: điểm $A$ thuộc đường thẳng $d$, hay $d$ đi qua $A$.
• $A\in(P)$: điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(P)$.
• $d\subset(P)$: mọi điểm của đường thẳng $d$ đều thuộc $(P)$; ta nói $(P)$ chứa $d$.
• $A\notin d$ hoặc $A\notin(P)$: điểm không thuộc đường hoặc mặt phẳng đang xét.

Điểm dùng ký hiệu $\in$; đường thẳng được xem là một tập điểm nên dùng $\subset$ khi nói nó nằm trong mặt phẳng. Khi hai mặt phẳng có giao tuyến $d$, viết $(P)\cap(Q)=d$. Khi đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm $M$, viết $d\cap(P)=\{M\}$.

Nếu hai điểm phân biệt $A,B$ cùng thuộc $(P)$ thì toàn bộ đường thẳng $AB$ nằm trong $(P)$. Điều kiện phân biệt cần thiết để xác định đường thẳng. Ngược lại, một điểm chung duy nhất chưa đủ để kết luận đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

3. Đọc và vẽ hình biểu diễn

Chọn hình biểu diễn không suy biến: đường thẳng và đoạn thẳng được vẽ thành đường thẳng và đoạn thẳng; bảo toàn quan hệ thuộc và các quan hệ song song cần dùng. Nét liền chỉ phần nhìn thấy, nét đứt chỉ phần bị che khuất. Đây là quy ước thể hiện, không thay thế giả thiết toán học.

Hình không gian được vẽ trên mặt phẳng nên hai đường chéo nhau có thể hiện thành hai nét cắt nhau. Góc vuông hoặc độ dài bằng nhau cũng không nhất thiết được thể hiện đúng trên hình phối cảnh. Khi chọn hướng nhìn gây hai điểm hoặc hai đường chồng lên nhau, cần đổi hướng biểu diễn hoặc ghi chú rõ.

Ví dụ 1. Từ hai điểm đến một đường

Cho $A,B\in(P)$, $A\ne B$, và $C\in AB$. Vì $AB\subset(P)$ nên $C\in(P)$. Không cần vị trí của $C$ phải nằm giữa $A$ và $B$; kết luận đúng cả trên phần kéo dài.

Ví dụ 2. Một nét cắt nhau chưa phải giao điểm

Trong hình chóp $S.ABC$, hai cạnh $SA$ và $BC$ không có điểm chung. Nếu hai nét biểu diễn của chúng gặp nhau trên giấy, điểm gặp ấy không được coi là điểm chung của hai cạnh trong không gian. Nếu $SA$ và $BC$ cùng nằm trong một mặt phẳng, mặt phẳng ấy chứa $A,B,C$ nên là $(ABC)$, trái với $S\notin(ABC)$.

4. Bài tập tự luyện

1. Viết ký hiệu: mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và chứa đường thẳng $d$.
2. Cho $M,N\in(Q)$ và $M\ne N$. Có thể kết luận $MN\subset(Q)$ không?
3. Hình bình hành dùng để vẽ $(P)$ có cạnh $AB$. Điểm thuộc $(P)$ có nhất thiết nằm bên trong hình bình hành đã vẽ không?

5. Những lỗi cần tránh

• Dùng $A\subset(P)$ thay cho $A\in(P)$.
• Gọi $AB$ là đường thẳng khi $A=B$.
• Suy ra độ dài, góc hoặc giao điểm trong không gian chỉ từ hình vẽ.
• Xem đường biên của hình bình hành trên giấy là biên của mặt phẳng.

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.