Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng bằng mặt phẳng phụ

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, ta đưa chúng về hai đường cùng nằm trong một mặt phẳng phụ. Phương pháp chỉ cho một giao điểm khi hai đường đó thực sự cắt nhau tại duy nhất một điểm.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Đưa bài toán về hình học phẳng

Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Chọn mặt phẳng $(\beta)$ chứa $d$, phân biệt với $(\alpha)$ và cắt $(\alpha)$ theo giao tuyến $\Delta$. Khi đó

Thật vậy, điểm của $d$ đã thuộc $(\beta)$. Nếu điểm ấy còn thuộc $(\alpha)$ thì thuộc giao tuyến $\Delta$. Ngược lại, mọi điểm thuộc $d\cap\Delta$ đều thuộc $d\cap(\alpha)$ vì $\Delta\subset(\alpha)$. Hai đường $d,\Delta$ cùng nằm trong $(\beta)$ nên có thể tìm giao bằng phương pháp phẳng.

2. Các bước và các ngoại lệ

1. Chọn $(\beta)$ chứa $d$ sao cho giao tuyến với $(\alpha)$ dễ xác định.
2. Dựng $\Delta=(\alpha)\cap(\beta)$ bằng hai điểm chung hoặc điểm chung và phương song song.
3. Xét hai đường $d,\Delta$ trong $(\beta)$. Nếu cắt nhau tại $M$, đó là giao điểm cần tìm.
4. Kiểm tra $M$ thuộc cả $d$ và $(\alpha)$, đồng thời phân biệt đường thẳng với đoạn cạnh nếu bài có khối đa diện.

Nếu $d\parallel\Delta$ và hai đường phân biệt, không có giao điểm: $d\parallel(\alpha)$. Nếu $d=\Delta$, cả đường $d$ nằm trong $(\alpha)$; không thể gọi một điểm tùy ý là giao điểm duy nhất. Tránh chọn $(\beta)=(\alpha)$ vì khi ấy không có giao tuyến riêng để thực hiện cách trên.

Mặt phẳng phụ tốt thường là mặt chứa hai điểm xác định $d$, hoặc mặt chéo của hình chóp. Không cần chọn mặt phẳng mới phức tạp nếu một mặt đã có chứa sẵn $d$.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Dùng mặt chéo của hình chóp

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành không suy biến. Gọi $P$ là trung điểm $SA$. Tìm giao điểm của đường thẳng $CP$ với mặt phẳng $(SBD)$.

Chọn mặt phẳng phụ $(SAC)$ vì chứa $C,P$. Gọi $O=AC\cap BD$; do đáy là hình bình hành, $O$ là trung điểm $AC$. Hai mặt phẳng $(SAC),(SBD)$ có giao tuyến $SO$.

Trong tam giác $SAC$, đường $CP$ là trung tuyến từ $C$ và đường $SO$ là trung tuyến từ $S$. Chúng cắt nhau tại trọng tâm $G$. Vì vậy $CP\cap(SBD)=\{G\}$, với $CG:GP=2:1$. Hai đường trung tuyến phân biệt nên giao điểm là duy nhất. Điểm $G$ nằm trên cả $CP$ và $SO\subset(SBD)$, đúng điều kiện cần kiểm tra.

Ví dụ 2. Mặt phẳng phụ cũng chỉ ra trường hợp song song

Trong hình chóp $S.ABC$, gọi $M,N$ là trung điểm $SA,SB$. Tìm điểm chung của $MN$ và $(ABC)$. Chọn $(\beta)=(SAB)$, giao tuyến với đáy là $AB$. Vì $MN$ là đường trung bình tam giác $SAB$, hai đường $MN,AB$ song song phân biệt. Do đó $MN\cap(ABC)=\varnothing$. Bài toán không có giao điểm hữu hạn.

4. Bài tập tự luyện

1. Trong hình chóp $S.ABC$, tìm giao điểm đường $SA$ với $(ABC)$.
2. Vẫn trong hình chóp đó, dùng mặt phẳng phụ $(SAB)$ để xét giao của $AB$ và $(ABC)$. Vì sao không có giao điểm duy nhất?
3. Trong ví dụ 1, có thể chọn $(ABC)$ làm mặt phẳng phụ chứa $CP$ không?

5. Những lỗi cần tránh

• Chọn mặt phẳng phụ không chứa toàn bộ đường đang xét.
• Kết luận có giao điểm trước khi kiểm tra $d$ với giao tuyến $\Delta$.
• Chứng minh một điểm chung rồi khẳng định duy nhất dù đường nằm trong mặt phẳng.
• Loại điểm chỉ vì nó nằm ngoài đoạn cạnh, trong khi đề đang hỏi đường thẳng.

6. Bài học liên quan

• Tìm giao tuyến qua hai điểm
• Tìm giao tuyến bằng song song
• Thiết diện hình chóp

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.