Góc hai đường thẳng lớp 11, đọc thêm góc vectơ không gian lớp 12

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Hai vectơ có hướng nên góc giữa chúng có thể tù. Đường thẳng không có một chiều ưu tiên; góc giữa hai đường được chọn không vượt quá góc vuông. Vì vậy hai loại góc có thể khác nhau dù dùng cùng các mũi tên chỉ phương.

Mục tiêu: xác định đúng miền giá trị; đổi giữa góc vectơ và góc đường; giữ rõ giả thiết hình học khi đọc hình phối cảnh.

Kiến thức cần biết: phương, hướng, hai vectơ bằng nhau; hình bình hành và hình hộp.

1. Góc giữa hai vectơ khác vectơ không

Cho $\vec a,\vec b\ne\vec0$. Từ một điểm $M$, đặt $\overrightarrow{MA}=\vec a$, $\overrightarrow{MB}=\vec b$. Góc giữa hai vectơ là $\theta=\widehat{AMB}\in[0^\circ;180^\circ]$. Vì hai vectơ khác không, hai tia $MA,MB$ đều xác định. Nếu một vectơ bằng $\vec0$, không định nghĩa góc theo cách này.

Hai vectơ cùng hướng có góc $0^\circ$; ngược hướng có góc $180^\circ$; vuông góc có góc $90^\circ$. Tịnh tiến các biểu diễn về cùng điểm đầu không đổi góc, nhưng đảo chiều một vectơ có thể đổi góc thành góc bù.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Qua một điểm, dựng hai đường có phương lần lượt là phương của $d_1,d_2$. Góc giữa $d_1,d_2$ là góc không vượt quá $90^\circ$ giữa hai đường này. Định nghĩa áp dụng cho cả các đường cắt, song song hoặc chéo nhau. Hai đường cùng phương có góc $0^\circ$.

Chọn chỉ phương $\vec u_1,\vec u_2\ne\vec0$ và gọi $\theta$ là góc giữa chúng. Góc $\varphi$ giữa các đường thỏa

Nếu $\theta\le90^\circ$, hai góc bằng nhau; nếu $\theta>90^\circ$, lấy góc bù. Nhân chỉ phương với số dương không đổi góc vectơ; nhân với số âm đảo chiều nhưng vẫn cho cùng góc đường thẳng.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Các góc vectơ trong hình hộp

Cho hình hộp không suy biến $ABCD.EFGH$, với $E,F,G,H$ lần lượt tương ứng $A,B,C,D$ qua cùng một phép tịnh tiến. Đáy $ABCD$ là hình thoi, $\widehat{BAD}=60^\circ$ và $\widehat{HDC}=45^\circ$. Đây là các giả thiết của đề; hình hộp không được mặc định là hình hộp chữ nhật.

Ta có $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=60^\circ$. Vì $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}$, góc $(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{AD})$ cũng bằng $60^\circ$. Còn $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, nên $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=120^\circ$.

Giả thiết còn lại cho $(\overrightarrow{DH},\overrightarrow{DC})=45^\circ$, vì hai vectơ này cùng điểm đầu $D$. Không suy rằng $DH$ vuông góc đáy từ cách vẽ hình.

Ví dụ 2. Cùng hình nhưng góc đường khác góc vectơ

Với hình trên, góc giữa $AB,AD$ là $60^\circ$; góc giữa $EF,AD$ cũng bằng $60^\circ$. Tuy nhiên góc giữa hai đường $BA,BC$ là $60^\circ$, dù cặp vectơ $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$ có góc $120^\circ$. Lấy $180^\circ-120^\circ$ đưa về góc quy ước giữa hai đường.

Ví dụ 3. Hai chỉ phương ngược nhau

Nếu $\vec u=(1;0;0)$ và $\vec v=(-2;0;0)$ thì góc vectơ bằng $180^\circ$, còn góc giữa hai đường có các chỉ phương ấy bằng $0^\circ$. Chỉ từ góc này chưa biết hai đường song song phân biệt hay trùng nhau; cần xét thêm vị trí.

4. Tự luyện

1. Hai chỉ phương khác không có góc $150^\circ$. Góc giữa hai đường là bao nhiêu?
2. Với $\vec u\ne\vec0$, so sánh góc vectơ giữa $\vec u,-2\vec u$ và góc giữa hai đường có các chỉ phương đó.
3. Có thể dùng $\vec0$ để tính góc giữa hai đường hoặc định nghĩa góc giữa $\vec0$ với một vectơ khác không không?

5. Những lỗi cần tránh

Không dùng chung một miền giá trị cho hai loại góc. Phân biệt đường $AB$ với vectơ $\overrightarrow{AB}$. Không lấy góc nhìn thấy trên hình phối cảnh làm số đo; dùng giả thiết, quan hệ song song hoặc phép tính đã có căn cứ.

Tài liệu gốc trên Scribd (liên kết ngoài).