Độ dài vectơ và hai vectơ bằng nhau trong không gian

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Độ dài là một số không âm, còn vectơ chứa cả hướng và độ dài. Hai vectơ có cùng độ dài chưa chắc bằng nhau; sự khác biệt này cần được giữ khi đọc hình hoặc tính tọa độ.

Mục tiêu: tính độ dài vectơ; kiểm tra hai vectơ bằng nhau; nhận biết vectơ đối và trường hợp vectơ không.

Kiến thức cần biết: hai đầu mút, phương và hướng của vectơ; công thức khoảng cách giữa hai điểm.

1. Độ dài và vectơ không

Độ dài của $\overrightarrow{AB}$ là độ dài đoạn thẳng $AB$, ký hiệu $\|\overrightarrow{AB}\|=AB$. Với một vectơ bất kỳ $\vec u$, ta có $\|\vec u\|\ge0$ và $\|\vec u\|=0$ đúng khi $\vec u=\vec0$. Đảo hai đầu mút không đổi độ dài: $\|\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{BA}\|$.

Trong Oxyz, nếu $\vec u=(u_1;u_2;u_3)$ thì $\|\vec u\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$. Vì vậy nếu $A(x_A;y_A;z_A)$, $B(x_B;y_B;z_B)$, ta lấy ba hiệu tọa độ rồi bình phương và cộng. Không cộng các hiệu có dấu để làm độ dài.

2. Khi nào hai vectơ bằng nhau?

Hai vectơ khác $\vec0$ bằng nhau nếu cùng hướng và cùng độ dài. Các vectơ không đều bằng nhau. Trong tọa độ, điều kiện gọn là ba tọa độ tương ứng bằng nhau; tiêu chuẩn này xử lý được cả trường hợp bằng $\vec0$.

Hai đoạn có hướng bằng nhau không nhất thiết có cùng điểm đầu hoặc cùng điểm cuối. Chúng có thể là hai cách đặt của cùng một vectơ tự do. Ngược lại, hai vectơ xuất phát cùng một điểm mà bằng nhau thì có cùng điểm cuối.

Với hai vectơ khác $\vec0$, nếu cùng phương và cùng độ dài, còn hai khả năng: bằng nhau hoặc đối nhau. Cần kiểm tra hướng để phân biệt. Vectơ $-\vec u$ có cùng độ dài với $\vec u$; nếu $\vec u\ne\vec0$ thì chúng ngược hướng và không bằng nhau.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. So sánh phương, hướng và độ dài

Giả sử $\vec a,\vec b$ cùng hướng, cùng độ dài nên $\vec a=\vec b$. Vectơ $\vec c$ có cùng độ dài với $\vec a$ nhưng khác phương, nên không bằng $\vec a$. Vectơ $\vec d$ cùng phương với $\vec a$ nhưng khác độ dài, nên cũng không bằng $\vec a$. Mỗi kết luận dựa vào quan hệ đã nêu, không dựa vào việc đo hình vẽ.

Có thể kiểm tra một tình huống số tương ứng: lấy $\vec a=\vec b=(1;2;2)$, $\vec c=(2;1;2)$, $\vec d=(2;4;4)$. Độ dài của ba vectơ đầu đều bằng $3$, còn $\|\vec d\|=6$. Hai vectơ $\vec a,\vec c$ không cùng phương dù cùng độ dài.

Ví dụ 2. Vectơ bằng nhau đặt tại hai vị trí

Cho $A(1;2;-1)$, $B(3;1;1)$, $C(0;0;0)$, $D(2;-1;2)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=(2;-1;2)$, nên hai vectơ bằng nhau và có độ dài $\sqrt{4+1+4}=3$. Các điểm đầu $A,C$ khác nhau không ảnh hưởng kết luận.

Ví dụ 3. Độ dài bằng nhau nhưng hướng đối nhau

Với $A,B$ ở ví dụ 2, $\overrightarrow{BA}=(-2;1;-2)$ có độ dài $3$, nhưng $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$. Vì hai điểm phân biệt, các vectơ này khác $\vec0$ và không bằng nhau. Nếu thay $B=A$, cả hai trở thành $\vec0$ và bằng nhau.

4. Tự luyện

1. Cho $A(0;1;2)$, $B(2;3;1)$. Tính $\overrightarrow{AB}$ và độ dài của nó.
2. So sánh $\vec u=(2;2;-1)$ và $\vec v=(3;0;0)$: chúng có cùng độ dài không, có bằng nhau không?
3. Cho $A(1;-2;0)$ và $\vec u=(2;1;-3)$. Tìm $B$ sao cho $\overrightarrow{AB}=\vec u$. Độ dài này có thể bằng $0$ không?

5. Những lỗi cần tránh

Không viết một vectơ bằng một độ dài. Không kết luận bằng nhau chỉ từ độ dài bằng nhau hoặc chỉ từ cùng phương. Khi tính bằng tọa độ, phải xét đúng cả ba thành phần; khi dùng hình phối cảnh, chỉ dùng độ dài và quan hệ được cho trong đề.

6. Học tiếp và nguồn

Vector trong không gian: điểm đầu và điểm cuối · Phép cộng, trừ các vector · Tích vô hướng của hai vector. Ứng dụng..

Tài liệu gốc trên Scribd (liên kết ngoài).