Đồ thị y = |f(x)|: phản xạ, điểm gấp và cực trị
Dựng đồ thị y = |f(x)| bằng cách giữ phần không âm và phản xạ phần âm qua Ox; xét cực trị tại cả những điểm không có đạo hàm.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Trị tuyệt đối tác động lên tung độ của đồ thị. Phần không âm giữ nguyên; phần âm đổi dấu và phản xạ qua trục hoành. Các điểm nối có thể không có đạo hàm và vẫn có thể là điểm cực trị.
Mục tiêu: viết hàm theo từng miền, dựng đồ thị và kiểm đủ các điểm dừng lẫn điểm không khả vi.
Kiến thức cần biết: dấu của hàm, hàm theo từng khoảng và đạo hàm.
Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Công thức và phép dựng
Với hàm thực $f$ có miền $D$, hàm $g(x)=|f(x)|$ có cùng miền, và
Hoành độ không đổi, chỉ tung độ đổi từ $y$ sang $|y|$. Vì vậy đồ thị $g$ nằm trên hoặc sát $Ox$, giữ mọi điểm mà $f=0$. Không phản xạ qua trục tung; thao tác đó gắn với đổi $x$ thành $-x$, là bài toán khác.
2. Đạo hàm và các điểm nối
Trên khoảng $f>0$ và $f$ có đạo hàm, $g'=f'$. Trên khoảng $f<0$, có $g'=-f'$. Tại một nghiệm của $f$, phải kiểm riêng đạo hàm hoặc đạo hàm một phía. Không mặc định mọi nghiệm đều là điểm gấp: $|x^2|=x^2$ vẫn có đạo hàm tại 0.
Nếu $f$ có đạo hàm tại $a$ và $f(a)=0$, giới hạn của $|f(a+h)|/h$ từ phải là $|f'(a)|$, từ trái là $-|f'(a)|$. Vì thế $|f|$ có đạo hàm tại $a$ đúng khi $f'(a)=0$; khi ấy đạo hàm bằng 0. Điều này là tiêu chuẩn dưới giả thiết $f$ có đạo hàm tại nghiệm.
Khi tìm cực trị, xét dấu đạo hàm trên từng khoảng và thêm các điểm nối nằm trong miền. Định lý “cực trị khả vi thì đạo hàm bằng 0” không cho phép bỏ một điểm không khả vi. Mọi nghiệm của $f$ đều cho $g=0$, là giá trị nhỏ nhất toàn cục nếu có nghiệm.
3. Hai ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Hàm y = |x − 1|
Miền xác định là $\mathbb R$. Đạo hàm bằng$-1$ khi $x<1$, bằng 1 khi $x>1$. Tại 1, hai đạo hàm một phía là $-1$ và 1, nên không có đạo hàm. Hàm giảm bên trái, tăng bên phải; $(1;0)$ là điểm cực tiểu và đạt giá trị nhỏ nhất 0.
Vẽ hai nửa đường thẳng nối tại $(1;0)$: nhánh trái có phương trình $y=1-x$, nhánh phải $y=x-1$. Chỉ cần lấy điểm nối một lần, không tạo khe hở tại 1. Đồ thị nhận đường $x=1$ làm trục đối xứng.
Ví dụ 2. Hàm y = |x² − 3x + 2|
Vì $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, tam thức không âm khi $x\le1$ hoặc $x\ge2$, âm khi $1<x<2$. Do đó
Đạo hàm là $2x-3$ khi $x<1$ hoặc $x>2$, là $-2x+3$ khi $1<x<2$. Hàm giảm trên $(-\infty;1)$, tăng trên $(1;3/2)$, giảm trên $(3/2;2)$ và tăng trên $(2;+\infty)$.
Tại 1, hai đạo hàm một phía là $-1,1$; tại 2 là $-1,1$. Cả hai điểm không có đạo hàm nhưng đều là cực tiểu, giá trị 0. Tại $x=3/2$, hàm có cực đại địa phương $g(3/2)=1/4$. Hai đầu tiến tới $+\infty$, nên không có giá trị lớn nhất toàn cục.
Đồ thị giữ hai phần ngoài khoảng $[1;2]$ của parabol ban đầu, còn phần dưới trục trong $(1;2)$ được lật lên. Nó đi qua $(0;2)$, $(1;0)$, $(3/2;1/4)$, $(2;0)$ và đối xứng qua đường $x=3/2$. Phần phản xạ nối liên tục với hai phần ngoài.
4. Tự luyện
- Vẽ và tìm cực tiểu của $|x+2|$.
- Tại 0, hàm $|x^2|$ có đạo hàm không? Vì sao không phải mọi nghiệm trong dấu trị tuyệt đối đều thành điểm gấp?
- Giải $|x^2-3x+2|=0$ và cho biết các điểm ấy có thuộc đồ thị không.
Gợi ý và đáp án
- Hai nhánh là $-(x+2)$ khi $x<-2$ và $x+2$ khi $x\ge-2$. Cực tiểu tại $(-2;0)$, đạt giá trị nhỏ nhất 0.
- Có, vì $|x^2|=x^2$; đạo hàm tại 0 bằng 0. Hàm trong có nghiệm nhưng đạo hàm tại nghiệm bằng 0, phù hợp tiêu chuẩn ở mục 2.
- Nghiệm $x=1,2$; hai điểm $(1;0),(2;0)$ đều được giữ khi phản xạ, không bị loại khỏi miền.
5. Những lỗi cần tránh
Không giữ phần đồ thị nằm dưới Ox. Không thay $|f(x)|$ bằng $f(|x|)$. Không tìm cực trị chỉ bằng phương trình đạo hàm bằng 0 rồi bỏ các điểm gấp. Khi viết từng nhánh, phải phủ đủ miền và giữ các điểm nối.
6. Học tiếp
Đồ thị hàm số: Hàm trùng phương · Đồ thị hàm số: Hàm bậc ba · Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị · Đạo hàm.
bạn ơi ở vd1 mình chưa hiểu từ chỗ suy ra đến đồng biến nghịch biến
ví dụ 2, hình như giải sai rồi.
-x^2 +3x-2 >0 nếu x2 chứ ko phải 1<x<2