Đạo hàm lớp 11: định nghĩa, quy tắc và ý nghĩa tiếp tuyến

2016-02-12 huynhvietkhanh Đã xem: 0 Phản hồi: 0

Hiểu đạo hàm qua giới hạn hữu hạn, dùng các công thức cơ bản và viết tiếp tuyến đúng tiếp điểm; kiểm tra miền xác định trong từng bài.

THPTDãy số - Giới hạn của dãy số - Đạo hàm / Khảo sát hàm số

Bài chính · Xem địa chỉ bài cùng nội dung

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Đạo hàm tại một điểm là giới hạn của tỉ số biến thiên khi hai điểm tiến lại gần nhau. Các quy tắc tính giúp tránh tính giới hạn từ đầu, nhưng chỉ dùng tại những điểm hàm và các biểu thức liên quan thỏa điều kiện.

Mục tiêu: tính đạo hàm bằng định nghĩa và quy tắc; phân biệt đạo hàm tại điểm với hàm đạo hàm; viết tiếp tuyến khi biết điểm tiếp xúc.

Kiến thức cần biết: giới hạn hữu hạn, hằng đẳng thức và các hàm lượng giác tính bằng radian.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Đạo hàm tại một điểm

Cho $f$ xác định trên một khoảng mở chứa $x_0$. Nếu giới hạn sau tồn tại và hữu hạn, ta gọi nó là đạo hàm của $f$ tại $x_0$:

$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h.$$

Các tỉ số chỉ xét khi $x\ne x_0$ hoặc $h\ne0$. Không thế trực tiếp rồi kết luận từ dạng $0/0$; cần rút gọn hoặc đánh giá trước khi lấy giới hạn. Nếu có đạo hàm tại mọi điểm của khoảng, các giá trị ấy tạo thành hàm đạo hàm $f'$ trên khoảng đó.

Có đạo hàm hữu hạn kéo theo liên tục: với $h\ne0$, hiệu $f(x_0+h)-f(x_0)$ bằng $h$ nhân tỉ số trên, nên tiến về 0. Chiều ngược không đúng: $|x|$ liên tục tại 0 nhưng tỉ số $|h|/h$ có giới hạn phải 1, trái $-1$, nên không có đạo hàm tại 0.

2. Công thức và quy tắc có điều kiện

Với $C$ là hằng số và $n\ge1$ là số nguyên, có

$$C'=0,\quad (x)'=1,\quad (x^n)'=nx^{n-1},\quad (1/x)'=-1/x^2\ \ (x\ne0).$$

Với $x>0$, $(\sqrt x)'=1/(2\sqrt x)$. Công thức này không cho đạo hàm hữu hạn tại 0. Khi góc tính bằng radian, $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$. Ngoài ra

$$(\tan x)'=\frac1{\cos^2x}=1+\tan^2x\quad(\cos x\ne0),$$

$$(\cot x)'=-\frac1{\sin^2x}=-(1+\cot^2x)\quad(\sin x\ne0).$$

Đây là các công thức cơ bản được dùng trong bài; hai ví dụ đầu bên dưới tính trực tiếp từ định nghĩa. Với $u,v$ có đạo hàm tại điểm đang xét, ta có

$$(u\pm v)'=u'\pm v',\quad (Cu)'=Cu',\quad (uv)'=u'v+uv'.$$

$$(1/v)'=-\frac{v'}{v^2},\qquad (u/v)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad(v\ne0).$$

Ở điểm có đạo hàm hữu hạn, tiếp tuyến tại $M_0=(x_0;f(x_0))$ có hệ số góc $f'(x_0)$ và phương trình

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

Phải dùng cả giá trị hàm lẫn đạo hàm tại đúng $x_0$. Đạo hàm bằng 0 cho tiếp tuyến ngang; công thức trên không mô tả tiếp tuyến đứng bằng một đạo hàm hữu hạn.

3. Sáu ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tính tại điểm bằng định nghĩa

Cho $f(x)=x^2+1$, tính $f'(2)$. Vì $f(2)=5$, với $x\ne2$ ta có

$$\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.$$

Lấy giới hạn khi $x\to2$ được $f'(2)=4$. Việc khử nhân tử được thực hiện ở các điểm lân cận khác 2, đúng miền của tỉ số.

Ví dụ 2. Tìm hàm đạo hàm từ định nghĩa

Với $f(x)=x^3$ và $x\ne x_0$, tỉ số biến thiên bằng $x^2+xx_0+x_0^2$ theo hằng đẳng thức hiệu hai lập phương. Cho $x\to x_0$ được $3x_0^2$. Vì $x_0$ tùy ý trong $\mathbb R$, suy ra $f'(x)=3x^2$ trên toàn trục số.

Ví dụ 3. Đạo hàm một đa thức

Với $f(x)=x^3-x^2+x-1$, dùng quy tắc tổng và hiệu được $f'(x)=3x^2-2x+1$. Các hạng đều có đạo hàm trên $\mathbb R$, nên công thức cũng đúng với mọi số thực.

Ví dụ 4. Hệ số hằng trước từng hạng

Với $f(x)=2x^3-5x^2+3x+2$, ta có

$$\begin{aligned}f'(x)&=2(3x^2)-5(2x)+3,\\&=6x^2-10x+3.\end{aligned}$$

Hằng số cuối có đạo hàm $0$; hệ số của các hạng khác được giữ nguyên trước khi nhân với đạo hàm.

Ví dụ 5. Quy tắc thương

Cho $f(x)=(x^2+1)/(x^3-2x+1)$ trên miền $x^3-2x+1\ne0$. Áp dụng quy tắc thương:

$$\begin{aligned}f'(x)&=\frac{2x(x^3-2x+1)-(3x^2-2)(x^2+1)}{(x^3-2x+1)^2},\\&=\frac{-x^4-5x^2+2x+2}{(x^3-2x+1)^2}.\end{aligned}$$

Khai triển tử sau khi đã viết đúng thứ tự $u'v-uv'$. Dù có rút gọn ở bước khác, các điểm làm mẫu ban đầu bằng 0 vẫn không thuộc miền của hàm.

Ví dụ 6. Tiếp tuyến của đồ thị sin

Cho $f(x)=\sin x$, $x_0=\pi/6$. Có $f(x_0)=1/2$ và $f'(x_0)=\cos(\pi/6)=\sqrt3/2$. Vì vậy tiếp tuyến là

$$y=\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac\pi6\right)+\frac12=\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12-\frac{\sqrt3\pi}{12}.$$

Thay $x=\pi/6$ cho $y=1/2$, đúng điểm tiếp xúc; hệ số góc là giá trị đạo hàm đã tính.

4. Tự luyện

Tính đạo hàm của $g(x)=x^4-2x^2+7$.
Viết tiếp tuyến của $y=x^2+1$ tại điểm có hoành độ 2.
Với $f(x)=\sqrt x$ trên $[0;+\infty)$, xét tỉ số biến thiên từ bên phải tại 0. Có đạo hàm hữu hạn tại đó không?

Gợi ý và đáp án

$g'(x)=4x^3-4x$ trên $\mathbb R$.
Từ ví dụ 1, điểm tiếp xúc là $(2;5)$, hệ số góc 4. Phương trình là $y=4(x-2)+5=4x-3$.
Với $h>0$, tỉ số bằng $\sqrt h/h=1/\sqrt h\to+\infty$. Không có đạo hàm hữu hạn từ bên phải; định nghĩa hai phía trên khoảng mở cũng không áp dụng tại đầu miền 0.

5. Những lỗi cần tránh

Không nhầm hàm đạo hàm với đạo hàm tại một điểm. Không xem giới hạn vô hạn là đạo hàm hữu hạn theo định nghĩa trong bài. Khi dùng tích hoặc thương, giữ đủ hai hạng và điều kiện mẫu. Với tiếp tuyến, không bỏ giá trị $f(x_0)$ hoặc dùng giá trị của một điểm khác.

6. Ôn lại và học tiếp

Bài chính về đạo hàm; học sau nền giới hạn và giữ điều kiện đạo hàm hữu hạn.

Ôn lại khi cần

Giới hạn hàm số lớp 11: điều kiện, dấu và dạng vô địnhNội dung chính và vận dụng

Học tiếp theo gợi ý

Công thức đạo hàm lớp 11: miền xác định và quy tắc tínhNội dung chính và vận dụng
Tiếp tuyến tại một điểm lớp 11: hoành độ, tung độ, giao trụcNội dung chính và vận dụng

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.