Mở rộng lớp 12: tham số và tọa độ hai điểm cực trị

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Điều kiện đặt lên hai cực trị có thể chỉ liên quan hoành độ hoặc liên quan cả hai tọa độ. Cần chứng minh chúng tồn tại và phân biệt trước, rồi chọn Viète hoặc hình học tọa độ theo đúng loại điều kiện.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Hoành độ và điểm đồ thị

Với bậc ba thực sự, hai hoành độ cực trị là hai nghiệm phân biệt của đạo hàm. Đặt $S=x_1+x_2$, $P=x_1x_2$; khi ấy $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$. Điều kiện hai điểm ở hai phía trục tung tương đương $P<0$. Còn khoảng cách tới $O$ dùng $x_i^2+f(x_i)^2$, không chỉ dùng $x_i$.

Với điều kiện không đối xứng như $x_1+2x_2=1$, cần nêu rõ nhãn. Nếu đề chưa yêu cầu $x_1<x_2$ hoặc gắn nhãn với cực đại, cực tiểu, hiểu là tồn tại cách gán hai nhãn thỏa điều kiện. Việc tự sắp thứ tự có thể loại một nghiệm tham số hợp lệ theo cách hiểu ban đầu.

2. Cách lập điều kiện

Tính đạo hàm; xét giảm bậc; lập điều kiện hai nghiệm phân biệt. Dùng Viète cho biểu thức đối xứng để tránh căn. Với điều kiện tuyến tính không đối xứng, giải một nghiệm theo tham số rồi thế vào phương trình đạo hàm. Sau cùng kiểm lại cả nhãn và điều kiện phân biệt.

Hai điểm cách đều $O$ không buộc $O$ là trung điểm hoặc tâm đối xứng của đồ thị. Đúng hơn, $O$ nằm trên đường trung trực của đoạn nối chúng. Có thể dùng trực tiếp hiệu hai bình phương khoảng cách để lập phương trình tương đương.

3. Bốn ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tổng hai bình phương hoành độ

Cho $f=x^3-3mx^2+(m^2+2m-3)x+4$. Đạo hàm $3x^2-6mx+m^2+2m-3$ có $D=6m^2-6m+9=6(m-1/2)^2+15/2>0$ mọi $m$. Theo Viète, $S=2m$, $P=(m^2+2m-3)/3$. Vì vậy

Đáp số là $m=0$ hoặc $m=2/5$; cả hai đều có hai cực trị.

Ví dụ 2. Điều kiện có nhãn

Cho hàm số

Yêu cầu hàm có hai hoành độ thỏa $x_1+2x_2=1$. Nếu $m=0$, hàm bậc hai nên không có hai cực trị; loại. Với $m\ne0$, đạo hàm có $D=-2m^2+4m+1>0$. Từ $S=2(m-1)/m$, điều kiện cho

Thế $x_2$ vào đạo hàm, được $2(3m-2)(m-2)/m=0$, nên $m=2/3$ hoặc $m=2$. Với $m=2/3$, cặp có nhãn là $(-3;2)$; với $m=2$, là $(1;0)$. Cả hai thỏa điều kiện và có nghiệm phân biệt. Nếu thêm yêu cầu $x_1<x_2$, chỉ $m=2/3$ được nhận.

Ví dụ 3. Hai điểm cách đều gốc tọa độ

Giữ hàm $f=-x^3+3mx^2+3(m^2-1)x-3m^2$. Đặt $r=\sqrt{2m^2-1}$. Hai cực trị tồn tại đúng khi $2m^2-1>0$; khi đó hoành độ $x_\pm=m\pm r$. Đặt $F=f(m)=5m^3-3m^2-3m$. Khai triển theo $x=m+t$ cho $f(m+t)=F+3r^2t-t^3$, nên hai tung độ là $F\pm2r^3$.

Hiệu bình phương khoảng cách của hai điểm tới $O$ bằng $4r[m+2Fr^2]$. Vì $r>0$, điều kiện cách đều tương đương $m+2F(2m^2-1)=0$. Do $m=0$ không thỏa điều kiện hai cực trị, rút gọn được

Đây là điều kiện chính xác của tham số. Nó có đúng hai nghiệm hợp lệ, đều dương: nghiệm duy nhất $m_1\in(0{,}78;0{,}79)$ và nghiệm duy nhất $m_2\in(1{,}08;1{,}09)$; gần đúng $m_1\approx0{,}780293$, $m_2\approx1{,}084958$.

Để kiểm đủ nghiệm, nếu $m<-1/\sqrt2$, thì $5m^2-3m-3>0$, nên $Q=1+2(5m^2-3m-3)(2m^2-1)>0$, không có nghiệm. Trên $m>1/\sqrt2$, $Q^{\prime\prime}=240m^2-72m-44>0$: tam thức này tăng ở miền ấy và tại biên bằng $76-36\sqrt2>0$. Vì vậy $Q^{\prime}$ tăng nghiêm, $Q$ có nhiều nhất hai nghiệm trên miền. Các dấu trái nhau tại từng cặp đầu mút hai khoảng đã nêu chứng minh có đúng hai. Đặc biệt $m=0$ cho $-x^3-3x$, không có cực trị nên không thể là đáp số.

Ví dụ 4. Hai điểm ở hai phía trục tung

Với hàm ở ví dụ 1, tích hai hoành độ là $P=(m^2+2m-3)/3=(m+3)(m-1)/3$. Hai phía trục tung đòi $P<0$, nên $-3<m<1$. Cách khác, parabol đạo hàm có hệ số đầu dương; hai nghiệm bao quanh $0$ đúng khi $f^{\prime}(0)=m^2+2m-3<0$, cho cùng kết quả. Các biên bị loại vì có một hoành độ bằng $0$.

4. Bài tập tự luyện

1. Hai hoành độ có $S=4$, $P=-5$. Tính tổng hai bình phương và xét vị trí đối với trục tung.
2. Chứng minh với $m>0$, hai điểm cực trị của $x^3-3mx$ cách đều $O$.
3. Cặp hoành độ là $\{0,1\}$. Có thể gán nhãn để $x_1+2x_2=1$ không? Nếu yêu cầu $x_1<x_2$ thì sao?

5. Những lỗi cần tránh

• Chia cho tham số chưa xét bằng $0$.
• Dùng điều kiện trên hoành độ thay cho khoảng cách hai chiều.
• Suy cách đều tâm thành đối xứng tâm.
• Sửa dấu trong hệ số đã cho khi áp dụng Viète.

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.