Tìm tham số để hàm có cực trị: nghiệm và bội đạo hàm
Đếm những lần đạo hàm đổi dấu để xác định số cực trị; xét nghiệm trùng và biện luận tham số thay vì chỉ đếm nghiệm đạo hàm.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Tìm tham số để có cực trị là bài toán đếm các lần đạo hàm đổi dấu. Nghiệm đơn hoặc bội lẻ làm đổi dấu, còn nghiệm bội chẵn không làm đổi dấu; đếm nghiệm mà bỏ bội có thể cho đáp số sai.
Mục tiêu: đếm cực trị của đa thức bậc ba và bậc bốn, kiểm tra nghiệm kép và nghiệm trùng giữa các nhân tử.
Kiến thức cần biết: tiêu chuẩn cực trị; biệt thức và dấu đa thức.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Từ nghiệm đạo hàm đến cực trị
Với đa thức $f$, đạo hàm là đa thức và $f$ liên tục. Nếu $f^{\prime}(x)=(x-r)^kh(x)$, $h(r)\ne0$, thì gần $r$ dấu của $h$ cố định. Vì vậy đạo hàm đổi dấu tại $r$ đúng khi $k$ lẻ. Đổi âm sang dương cho cực tiểu; dương sang âm cho cực đại. Nghiệm bội chẵn không tạo cực trị.
Với bậc ba thực sự $ax^3+bx^2+cx+d$, $a\ne0$, đạo hàm bậc hai có hai nghiệm đơn đúng khi $b^2-3ac>0$: khi ấy có hai cực trị. Nếu biệt thức bằng $0$ hoặc âm thì không có cực trị. Bậc ba trên toàn $\mathbb R$ không có đúng một cực trị. Trước khi áp dụng, phải kiểm tra tham số không làm giảm bậc.
2. Quy trình kiểm tra tham số
Ghi đạo hàm chính xác, tách nhân tử nếu có rồi lập điều kiện nghiệm thực phân biệt. Khi đạo hàm có nhân tử $xg(x)$, không chỉ cần $g$ có hai nghiệm phân biệt mà còn cần chúng khác $0$ để có ba nghiệm đơn. Nếu nghiệm trùng với $0$, cộng các bội trước khi quyết định có đổi dấu hay không.
Các dấu nghiêm và không nghiêm rất quan trọng: hai cực trị bậc ba cần biệt thức dương; không có cực trị bao gồm cả nghiệm kép, nên dùng biệt thức không dương. Sau khi giải điều kiện tham số, kiểm tra riêng mọi giá trị gây nghiệm trùng.
3. Sáu ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Bậc ba có hai cực trị
Cho hàm số
Đạo hàm là $3x^2-6(m-1)x+2m^2-3m+1$, có biệt thức thu gọn $D=3(m-1)(m-2)$. Vì hệ số đầu luôn là $3$, hàm có hai cực trị đúng khi $D>0$, tức $m<1$ hoặc $m>2$.
Ví dụ 2. Có đúng một cực trị không?
Cho $f=x^3-(2m+1)x^2+(m^2+2m)x+4$. Đạo hàm đúng là $3x^2-2(2m+1)x+m^2+2m$. Hệ số bậc ba luôn bằng $1$, nên chỉ có hai hoặc không có cực trị trên $\mathbb R$. Không có $m$ để hàm có đúng một cực trị; nghiệm kép của đạo hàm không tạo một cực trị đơn lẻ.
Ví dụ 3. Hai nghiệm luôn phân biệt
Cho $f=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x-2m+3$. Ta có $f^{\prime}=3[(x-m)^2-1]=3(x-m-1)(x-m+1)$. Hai nghiệm $m-1,m+1$ luôn phân biệt với mọi $m\in\mathbb R$. Đạo hàm đổi dương–âm–dương, nên luôn có cực đại tại $m-1$ và cực tiểu tại $m+1$.
Ví dụ 4. Không có cực trị, gồm biên nghiệm kép
Cho hàm số
Đạo hàm có biệt thức thu gọn $D=3(m^2-8m-1)$. Không có cực trị đúng khi $D\le0$, suy ra
Tại hai biên, đạo hàm là bình phương nhân một số dương, không đổi dấu. Vì vậy không được loại hai biên hoặc lấy miền ngoài đoạn.
Ví dụ 5. Bậc bốn có ba cực trị
Cho $f=x^4+8mx^3+3(1+2m)x^2-4$. Đạo hàm là $2xg(x)$, với $g(x)=2x^2+12mx+3(1+2m)$. Ba cực trị tương đương ba nghiệm đơn của đạo hàm, tức $g$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$. Điều kiện là
Vậy $m<(1-\sqrt7)/6$ hoặc $m>(1+\sqrt7)/6$, đồng thời loại $m=-1/2$. Nghiệm $0$ đã xuất hiện trong nhân tử đầu nên phải loại sự trùng này.
Ví dụ 6. Có cực tiểu nhưng không có cực đại
Cho $f=x^4+4mx^3+3(m+1)x^2+1$. Tính đúng hệ số trong phép tách:
Đặt $D_g=9m^2-6m-6$. Nếu $D_g\le0$, $g\ge0$ trên $\mathbb R$; đạo hàm đổi âm sang dương tại $0$ và không có lần đổi dấu nào khác. Hàm có một cực tiểu, không có cực đại. Điều kiện tương đương $(1-\sqrt7)/3\le m\le(1+\sqrt7)/3$.
Nếu $D_g>0$ và $m\ne-1$, hai nghiệm của $g$ khác $0$, nên đạo hàm có ba nghiệm đơn và chắc chắn có cực đại; loại. Xét $m=-1$: $f^{\prime}=4x^2(x-3)$, không đổi dấu tại $0$ nhưng đổi âm sang dương tại $3$, nên chỉ có cực tiểu ở $3$. Trường hợp nghiệm bội ba tại $0$ đòi đồng thời $m=0$ và $m=-1$, không xảy ra. Kết luận đầy đủ là
Để đọc bội trong một ví dụ khác, xét $h(x)=(x-1)(x-2)^3(x-3)^2$. Các nghiệm $1,2,3$ có bội $1,3,2$; dấu trên bốn khoảng lần lượt là $+,-,+,+$. Nếu $h$ là đạo hàm, chỉ $1,2$ tạo cực trị, còn $3$ không tạo cực trị.
4. Bài tập tự luyện
- Tìm $m$ để $x^3-3mx$ có hai cực trị.
- Tìm $m$ để $x^4-2mx^2$ có ba cực trị.
- Một đa thức có đạo hàm $(x-1)^2(x+2)^3$. Nghiệm nào tạo cực trị?
Mở đáp án và gợi ý
- Đạo hàm $3(x^2-m)$ có hai nghiệm đơn đúng khi $m>0$.
- Đạo hàm $4x(x^2-m)$ có ba nghiệm đơn đúng khi $m>0$. Khi $m\le0$, không có ba cực trị.
- $x=-2$ có bội lẻ nên đổi âm sang dương, tạo cực tiểu. $x=1$ có bội chẵn nên không có cực trị tại đó.
5. Những lỗi cần tránh
- Đếm nghiệm đạo hàm mà không kiểm bội và đổi dấu.
- Bỏ nghiệm kép khỏi trường hợp không có cực trị.
- Tách nhân tử sai hệ số của $mx$.
- Gọi nghiệm bội chẵn của đạo hàm là cực tiểu.
Bài viết rất dễ hiểu ; cảm ơn cunghoctoan.net
@Dux Nguyen cảm ơn bạn. Chúc bạn học tập tốt.