Tiếp tuyến tại một điểm: hoành độ, tung độ và giao trục
Viết tiếp tuyến khi biết hoành độ hoặc tung độ tiếp điểm; tìm đủ điểm thuộc đồ thị và phân biệt tiếp điểm với điểm mà tiếp tuyến đi qua.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Tiếp tuyến tại một điểm được xác định từ tọa độ tiếp điểm và đạo hàm tại hoành độ của nó. Khi chỉ biết tung độ, có thể có nhiều tiếp điểm; phải tìm hết trước khi viết các đường thẳng.
Mục tiêu: viết tiếp tuyến khi biết điểm, hoành độ, tung độ hoặc giao trục; kiểm điểm tiếp xúc và hệ số góc.
Kiến thức cần biết: đạo hàm hữu hạn tại điểm, phương trình đường thẳng và giải đa thức.
Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Công thức tại tiếp điểm
Giả sử $f$ có đạo hàm hữu hạn tại $x_0$. Điểm tiếp xúc phải là $M_0=(x_0;f(x_0))$. Tiếp tuyến tại đó có phương trình
Nếu đề cho $M_0=(x_0;y_0)$, trước hết kiểm $x_0$ thuộc miền và $y_0=f(x_0)$. Điểm ngoài đồ thị không thể là tiếp điểm tại chính nó. Bài tìm tiếp tuyến đi qua một điểm ngoài đồ thị cần tìm một tiếp điểm khác, thuộc dạng riêng.
Khi đạo hàm bằng 0, công thức cho tiếp tuyến ngang $y=f(x_0)$. Ở điểm không có đạo hàm hữu hạn, không áp dụng công thức này; không tự kết luận mọi dạng tiếp tuyến đều bị loại khỏi hình học, vì bài đang xét phạm vi đạo hàm hữu hạn.
2. Tìm đủ tiếp điểm trước khi lập đường
Nếu biết hoành độ, tính tung độ và đạo hàm tại hoành độ ấy. Nếu biết tung độ $y_0$, giải $f(x)=y_0$ trên miền xác định, rồi tính đạo hàm tại mọi nghiệm hợp lệ. Tại giao trục hoành, dùng $y_0=0$; tại giao trục tung, dùng $x_0=0$ nếu hàm xác định ở 0.
Mỗi tiếp điểm cho một phương trình đường thẳng. Nghiệm bội của phương trình tìm hoành độ chỉ tính một điểm; nếu hai điểm khác nhau cho cùng đường thẳng, chỉ liệt kê một đường khi đề hỏi các tiếp tuyến phân biệt. Có thể kiểm bằng hệ số góc và hệ số tự do sau khai triển.
Phương trình cuối cần đi qua tiếp điểm và có hệ số góc đúng bằng đạo hàm. Hai kiểm tra này phát hiện nhiều lỗi thế nhầm tung độ hoặc dấu của $x-x_0$.
3. Bốn ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Biết cả tọa độ
Cho $f(x)=x^3-2x^2+1$, tại $M_0=(1;0)$. Có $f(1)=0$, nên điểm thuộc đồ thị. Đạo hàm $f'(x)=3x^2-4x$, cho $f'(1)=-1$. Tiếp tuyến là $y=-(x-1)=-x+1$. Thay $x=1$ cho 0, đúng tung độ.
Ví dụ 2. Biết hoành độ
Cho $f(x)=x^3-2x+3$ tại $x_0=1$. Tung độ là $f(1)=2$, còn $f'(1)=3-2=1$. Do đó tiếp tuyến $y=(x-1)+2=x+1$. Không dùng 0 làm tung độ chỉ vì mới biết hoành độ của tiếp điểm.
Ví dụ 3. Biết tung độ bằng 1
Cho $f(x)=x^3-3x+3$. Điều kiện tung độ 1 tương đương $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0$. Có hai tiếp điểm phân biệt $(1;1)$ và $(-2;1)$; nghiệm kép 1 không tạo thêm điểm thứ ba.
Đạo hàm $f'(x)=3x^2-3$ cho hệ số góc 0 tại 1, hệ số góc 9 tại $-2$. Hai tiếp tuyến tương ứng là $y=1$ và $y=9(x+2)+1=9x+19$. Cả hai có tung độ 1 ở tiếp điểm của mình.
Ví dụ 4. Tiếp tuyến tại giao trục hoành
Cho $f(x)=x^3-3x+2$. Các giao điểm với $Ox$ có $x=1,-2$ từ cùng phân tích $(x-1)^2(x+2)=0$. Tung độ đều bằng 0, nên tiếp điểm là $(1;0)$ và $(-2;0)$.
Vẫn có $f'(1)=0$, $f'(-2)=9$. Hai tiếp tuyến là $y=0$ và $y=9(x+2)=9x+18$. So với ví dụ 3, hệ số góc giữ nguyên nhưng tung độ tiếp điểm đã thay đổi; vì vậy không giữ hệ số tự do 19.
4. Tự luyện
- Viết tiếp tuyến của $y=x^2$ tại hoành độ $-1$.
- Viết tiếp tuyến của $y=x^3$ tại điểm có tung độ 0.
- Có thể dùng $M=(1;3)$ làm tiếp điểm tại chính nó của đồ thị $y=x^2$ không?
Gợi ý và đáp án
- $f(-1)=1$, $f'(-1)=-2$. Tiếp tuyến $y=-2(x+1)+1=-2x-1$.
- Tung độ 0 buộc hoành độ 0; đạo hàm tại đó bằng 0 nên tiếp tuyến $y=0$.
- Không, vì $f(1)=1\ne3$. Bài tìm tiếp tuyến đi qua $M$ là bài khác, không lấy $M$ làm điểm tiếp xúc.
5. Những lỗi cần tránh
Không bỏ điều kiện điểm thuộc đồ thị. Không quên tìm tất cả hoành độ khi biết tung độ. Không thế nhầm tung độ của ví dụ khác. Một tiếp tuyến có thể cắt lại đồ thị ở điểm khác; công thức chỉ cần đúng tại tiếp điểm đã xác định.
6. Học tiếp
Đạo hàm · Phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc · Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng · Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm.
Để lại một bình luận