Tiếp tuyến lớp 11 biết hệ số góc: tìm đủ tiếp điểm
Tìm tất cả tiếp tuyến có hệ số góc cho trước bằng phương trình đạo hàm; tính tung độ đúng tiếp điểm và so sánh các đường trùng nhau.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Biết hệ số góc chỉ cho phương của tiếp tuyến. Vị trí của đường còn phụ thuộc tiếp điểm; mỗi nghiệm hợp lệ của phương trình đạo hàm bằng hệ số góc cần được xử lý đầy đủ.
Mục tiêu: tìm tiếp điểm từ đạo hàm, viết đủ tiếp tuyến và phân biệt số tiếp điểm với số đường thẳng.
Kiến thức cần biết: đạo hàm, phương trình tiếp tuyến tại điểm và giải phương trình.
Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Điều kiện về hệ số góc
Xét đồ thị $y=f(x)$ tại các điểm có đạo hàm hữu hạn. Tiếp tuyến tại hoành độ $x_0$ có hệ số góc $f'(x_0)$. Muốn hệ số góc bằng số thực $k$, điều kiện là $f'(x_0)=k$, với $x_0$ thuộc miền của hàm và đạo hàm được dùng.
Điều kiện này vừa cần vừa đủ cho tiếp tuyến theo công thức đạo hàm hữu hạn. Nó không yêu cầu tiếp điểm có hoành độ hoặc tung độ bằng $k$. Nếu phương trình không có nghiệm hợp lệ, không có tiếp tuyến với hệ số góc đã cho trong phạm vi đang xét.
2. Ba bước và phép kiểm
Tính $f'(x)$, giải hết $f'(x)=k$ trong miền. Với mỗi nghiệm $x_i$, tính $y_i=f(x_i)$ rồi viết
Để đếm các đường phân biệt, so sánh hệ số tự do $y_i-kx_i$. Hai tiếp điểm khác nhau có thể cùng tạo một đường, chẳng hạn một đường ngang tiếp xúc ở hai điểm. Khi ấy giữ cả thông tin tiếp điểm nhưng không đếm đường hai lần.
Kiểm mỗi đường bằng cách thay $x_i$ và so hệ số góc với $k$. Với hàm phân thức hoặc căn, lọc miền trước khi lập đường; không nhận nghiệm từ phép nhân mẫu nếu điểm làm hàm ban đầu không xác định.
3. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Hệ số góc −3
Cho $f(x)=x^3-3x^2+2$, tìm tiếp tuyến có $k=-3$. Có $f'(x)=3x^2-6x$. Phương trình $3x^2-6x=-3$ tương đương $3(x-1)^2=0$, nên chỉ có hoành độ 1. Tung độ $f(1)=0$. Tiếp tuyến là $y=-3(x-1)=-3x+3$. Nghiệm kép của phương trình đạo hàm vẫn chỉ cho một tiếp điểm.
Ví dụ 2. Hai tiếp điểm cùng hệ số góc
Cho $f(x)=x^3+3x-1$, với $k=6$. Có $f'(x)=3x^2+3$, nên $f'(x)=6$ cho $x=1$ hoặc $x=-1$. Tung độ tương ứng $f(1)=3$, $f(-1)=-5$. Hai tiếp điểm là $(1;3)$ và $(-1;-5)$.
Hai hệ số tự do khác nhau nên là hai tiếp tuyến phân biệt, cùng hệ số góc 6. Khi thế điểm thứ hai, phải dùng $f(-1)$, không chép lại $f(1)$.
Ví dụ 3. Kiểm miền của một hàm phân thức
Với $f(x)=1/x$, tìm tiếp tuyến có $k=-1$. Miền là $x\ne0$, đạo hàm $-1/x^2$. Điều kiện bằng$-1$ cho $x^2=1$, nên cả $x=1,-1$ hợp lệ. Hai tung độ là 1 và$-1$, cho $y=-x+2$ và $y=-x-2$. Không có phép thế tại 0.
4. Tự luyện
- Tìm tiếp tuyến của $y=x^2$ có hệ số góc 0.
- Tìm tiếp tuyến của $y=x^3$ có hệ số góc$-1$.
- Tìm các tiếp tuyến ngang của $y=x^3-3x$.
Gợi ý và đáp án
- Đạo hàm $2x=0$ cho 0, điểm tiếp xúc $(0;0)$, nên $y=0$.
- Không có, vì $3x^2\ge0$ không thể bằng $-1$.
- Đạo hàm $3x^2-3=0$ cho $x=\pm1$. Tung độ tại 1 là$-2$, tại $-1$ là 2. Hai đường $y=-2$ và $y=2$.
5. Những lỗi cần tránh
Không lấy $k$ làm hoành độ tiếp điểm. Không bỏ một nghiệm của phương trình đạo hàm. Không dùng sai tung độ sau khi tìm được hoành độ âm. Không đồng nhất số tiếp điểm với số tiếp tuyến phân biệt nếu chưa so sánh phương trình.
Để lại một bình luận