Tiếp tuyến đi qua một điểm: tìm tiếp điểm và đếm đường thẳng
Tìm tiếp tuyến đi qua một điểm bằng cách coi tiếp điểm là ẩn; kiểm tra miền, nghiệm phân biệt và khả năng nhiều tiếp điểm chung một đường.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Điểm $A$ mà tiếp tuyến phải đi qua có thể thuộc hoặc không thuộc đồ thị. Hoành độ của $A$ không tự là hoành độ tiếp điểm; điều kiện đi qua $A$ phải được đặt vào phương trình tiếp tuyến tại điểm chưa biết.
Mục tiêu: lập một phương trình theo tiếp điểm; giữ miền xác định; đếm các đường tiếp tuyến phân biệt sau khi giải.
Kiến thức cần biết: đạo hàm, điều kiện tiếp xúc và phương trình đường thẳng đi qua một điểm.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Hai điểm có hai vai trò
Cho $A(a;b)$ và đồ thị $y=f(x)$. Tại điểm khả vi $M(t;f(t))$ có đạo hàm hữu hạn, tiếp tuyến là $y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)$. Nó đi qua $A$ khi và chỉ khi
Ở đây $a,b$ đã cho còn $t$ cần tìm. Công thức vẫn đúng khi $A$ nằm trên đồ thị. Khi ấy tiếp tuyến tại $A$ là một ứng viên, nhưng có thể còn các tiếp tuyến tại những điểm khác đi qua $A$. Các ví dụ đầu tiên thể hiện điều này.
Chỉ xét các $t$ thuộc miền và có đạo hàm hữu hạn. Nếu đồ thị có tiếp tuyến đứng tại một điểm khác loại, phải xét riêng bằng giới hạn: dạng đường $y=k(x-a)+b$ không chứa đường đứng. Các hàm trong bốn ví dụ dưới đều có đạo hàm hữu hạn tại mọi điểm thuộc miền.
2. Giải và đếm đúng đối tượng
Có thể gọi $k$ là hệ số góc rồi giải đồng thời $f(t)=k(t-a)+b$ và $f^{\prime}(t)=k$. Thế điều kiện thứ hai vào thứ nhất thu được công thức một ẩn phía trên. Sau khi tìm $t$, tính $k$ và viết từng đường; loại nghiệm ngoài miền và gộp các phương trình trùng nhau.
Số hoành độ tiếp điểm phân biệt không luôn bằng số đường. Chẳng hạn đường $y=0$ là tiếp tuyến của $y=(x^2-1)^2$ tại cả $t=1$ lẫn $t=-1$, nhưng chỉ là một đường. Với đa thức bậc ba thực sự, một đường không thể tiếp xúc tại hai hoành độ phân biệt: hiệu giữa đa thức và đường sẽ có hai nghiệm bội ít nhất hai, trái với bậc ba.
Với hàm bậc nhất $f(x)=2x+1$, ta có một trường hợp riêng: mọi tiếp tuyến trùng đường $y=2x+1$; từ $A(a;b)$ có đúng một đường như vậy khi $b=2a+1$, và không có khi điều kiện sai. Trường hợp này cho thấy vô số tiếp điểm không có nghĩa là vô số đường tiếp tuyến.
3. Bốn ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Điểm đã cho nằm trên một bậc ba
Cho $f=x^3-3x+1$ và $A(1;-1)$. Vì $f^{\prime}(t)=3t^2-3$, điều kiện đi qua $A$ trở thành
Với $t=1$, được tiếp điểm $(1;-1)$, hệ số góc $0$ và $T_1:y=-1$. Với $t=-1/2$, được tiếp điểm $(-1/2;19/8)$, hệ số góc $-9/4$ và $T_2:y=-9x/4+5/4$. Hai hệ số góc khác nhau nên có đúng hai đường. Đạo hàm tại $A$ chỉ tìm được đường thứ nhất.
Ví dụ 2. Một nghiệm kép của phương trình tiếp điểm
Cho $f=x^4-4x^2+1$ và $A(2;1)$. Có $f^{\prime}(t)=4t^3-8t$. Điều kiện $1=f(t)+f^{\prime}(t)(2-t)$ rút gọn thành
Các hoành độ phân biệt là $2,0,-4/3$; nghiệm $2$ có bội hai vẫn chỉ là một hoành độ. Tính giá trị và đạo hàm cho
Ba tiếp tuyến lần lượt là $y=16x-31$, $y=1$ và $y=32x/27-37/27$. Chúng có ba hệ số góc khác nhau; thay $x=2$ vào từng đường đều được $y=1$, nên đều đi qua $A$.
Ví dụ 3. Giữ mẫu khác không
Cho $f=(2x-1)/(x-2)$ và $A(5;-1)$. Cần $t\ne2$; $f^{\prime}(t)=-3/(t-2)^2$. Đặt vào điều kiện, được
Hai nghiệm $t=-1,3$ đều hợp lệ. Tại $-1$, điểm là $(-1;1)$ và hệ số góc $-1/3$, nên $T_1:y=-x/3+2/3$. Tại $3$, điểm là $(3;5)$ và hệ số góc $-3$, nên $T_2:y=-3x+14$. Cả hai đường có tung độ $-1$ khi $x=5$.
Ví dụ 4. Tìm điểm trên trục hoành để có ba tiếp tuyến
Cho $f=x^3+3x^2$ và $A(a;0)$. Điều kiện theo $t$ là
Đã có hoành độ $t=0$. Để có ba hoành độ phân biệt, tam thức $q(t)=2t^2-3(a-1)t-6a$ phải có hai nghiệm phân biệt và cả hai khác $0$. Tương đương
Suy ra $a<-3$ hoặc $a>-1/3$, đồng thời $a\ne0$. Vì $f$ là bậc ba thực sự, ba tiếp điểm phân biệt tạo ba đường phân biệt theo lập luận bậc đa thức ở mục 2. Tại $a=-3,-1/3$, tam thức có nghiệm kép; tại $a=0$, nó có nghiệm $0$ trùng ứng viên có sẵn, nên đều loại khỏi yêu cầu ba đường.
4. Bài tập tự luyện
- Tìm tiếp tuyến của $y=x^2$ đi qua $(0;-1)$.
- Tìm tiếp tuyến của $y=x^2$ đi qua $(0;1)$.
- Đối với $y=(x^2-1)^2$ và $A(0;0)$, các tiếp điểm $t=\pm1$ cho hai đường khác nhau không?
Mở gợi ý và đáp án
- $-1=t^2+2t(0-t)=-t^2$, nên $t=\pm1$. Hai đường $y=2x-1$ và $y=-2x-1$.
- $1=-t^2$ vô nghiệm thực, nên không có tiếp tuyến.
- Không. Giá trị và đạo hàm tại cả hai điểm đều bằng $0$, nên cùng một đường $y=0$. Phải gộp đường trùng trước khi đếm.
5. Những lỗi cần tránh
Không thay tiếp điểm bằng điểm A khi chưa chứng minh. Không đếm nghiệm bội nhiều lần. Không coi hai tiếp điểm luôn cho hai đường khác nhau. Không khử mẫu rồi nhận điểm nằm ngoài miền; cuối cùng thử điểm A vào mọi phương trình tìm được.
6. Bài học liên quan
- Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị
- Phương trình tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng
- Tiếp tuyến tại một điểm: hoành độ, tung độ và giao trục
- Đường thẳng qua hai điểm cực trị của bậc ba
dạ cho e hỏi, nếu điểm A thuộc (C) mình vẫn áp dụng được phải không ạ ??? ………Tại e thấy phần lý thuyết là A không thuộc (C); nhưng trong ví dụ 2 thì A lại thuộc (C) ạ. Em cảm ơn !!!!
Chào Hùng, nếu điểm A thuộc đồ thị (C) thì lý thuyết này vẫn áp dụng được. Tuy nhiên, nếu bạn áp dụng lý thuyết Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thì sẽ gọn hơn. Bạn xem ở đây: http://cunghoctoan.net/toan-trung-hoc-pho-thong/khao-sat-ham-so/phuong-trinh-tiep-tuyen-tai-mot-diem-90.html