Mở rộng lớp 11: điều kiện xác định và lọc nghiệm lượng giác
Xác định điều kiện của phương trình lượng giác có mẫu hoặc căn; giải phương trình và loại các họ nghiệm không thỏa điều kiện.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Một phép rút gọn có thể làm biến mất mẫu số trên giấy nhưng không mở rộng miền xác định của phương trình ban đầu. Tập nghiệm cuối cùng là giao của các nghiệm tìm được với toàn bộ điều kiện đã ghi trước khi biến đổi.
Mục tiêu: tìm miền xác định, nhân mẫu đúng điều kiện, loại nghiệm bằng lớp góc và kiểm nghiệm sau phép bình phương.
Kiến thức cần biết: phương trình lượng giác cơ bản, công thức nhân đôi, phân tích nhân tử và căn bậc hai.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Miền xác định đi cùng bài giải
Hàm tan cần cos khác $0$; cot cần sin khác $0$; phân thức cần mọi mẫu khác $0$. Với căn bậc hai thực, biểu thức dưới căn phải không âm. Nếu căn nằm ở mẫu, biểu thức dưới căn phải dương. Các điều kiện đồng thời được lấy giao.
Nhân hai vế với một mẫu đã biết khác $0$ là phép biến đổi tương đương trên miền ấy. Rút gọn một nhân tử cũng cần nhân tử đó khác $0$. Bình phương hai vế chỉ là phép kéo theo nếu chưa kiểm dấu; các nghiệm sau bình phương có thể phải thử lại.
2. Cách lọc các họ nghiệm
Ghi các góc bị cấm theo cùng chu kỳ với các họ nghiệm tìm được. Nếu một họ có bước $2\pi/q$ với $q$ nguyên dương, viết chỉ số $k=qn+r$, với $r=0,\ldots,q-1$. Mỗi giá trị $r$ cho một lớp góc modulo $2\pi$; so sánh lớp ấy với các góc bị cấm.
Cũng có thể biểu diễn các lớp trên đường tròn lượng giác. Nhưng hình chỉ hỗ trợ phép so sánh; phải nêu rõ lớp nào bị loại và vì sao, để lời giải không phụ thuộc vào một hình chưa được xem.
3. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Phương trình có mẫu lượng giác
Giải $\dfrac{\cos x-\sin2x}{2\cos^2x-\sin x-1}=\sqrt3$. Đặt $s=\sin x$. Mẫu bằng $1-s-2s^2=(1+s)(1-2s)$, nên cần $\sin x\ne-1$ và $\sin x\ne1/2$. Các góc cấm modulo $2\pi$ là $-\pi/2,\pi/6,5\pi/6$.
Trên miền này, nhân mẫu rồi chuyển vế được $\cos x+\sqrt3\sin x=\sqrt3\cos2x+\sin2x$, tương đương $\sin(x+\pi/6)=\sin(2x+\pi/3)$. Hai họ ứng viên là
Họ thứ nhất có sin bằng $-1/2$, khác hai giá trị cấm nên được nhận. Ở họ thứ hai, viết $k=3n+r$. Khi $r=0,1,2$, góc tương ứng modulo $2\pi$ là $\pi/6,5\pi/6,3\pi/2$; cả ba đều bị cấm. Vậy nghiệm cuối cùng chỉ là $x=-\pi/6+2k\pi$.
Thử lại tại $x=-\pi/6$: tử bằng $\sqrt3$, mẫu bằng $1$, đúng bằng $\sqrt3$. Một cách kiểm khác là rút gọn tử $\cos x(1-2\sin x)$ và mẫu $(1+\sin x)(1-2\sin x)$, vẫn giữ cả hai điều kiện ban đầu.
Ví dụ 2. Rút gọn không nhận lại điểm cấm
Giải $(1-\cos2x)/\sin x=0$. Điều kiện $\sin x\ne0$. Trên miền ấy, phân thức bằng $2\sin x$, nên nếu bằng $0$ thì sin phải bằng $0$, trái điều kiện. Bài toán vô nghiệm, dù biểu thức rút gọn tự nó xác định tại các điểm cấm.
Ví dụ 3. Bình phương và kiểm dấu
Giải $\sqrt{\sin x}=\sin x$. Điều kiện $s=\sin x\in[0;1]$. Hai vế không âm, nên bình phương tương đương $s=s^2$. Nhận $s=0$ hoặc $s=1$: nghiệm $x=k\pi$ hoặc $x=\pi/2+2k\pi$. Các nghiệm đều thỏa điều kiện và phương trình gốc.
4. Bài tập tự luyện
- Giải $\tan x=\sin x/\cos x$.
- Giải $\sin x/(1-\cos x)=0$.
- Giải $\sqrt{\sin x}=-\sin x$.
Mở gợi ý và đáp án
- Hai vế bằng nhau trên miền $\cos x\ne0$. Vậy mọi $x\in\mathbb R\setminus\{\pi/2+k\pi:k\in\mathbb Z\}$ là nghiệm.
- Cần $\cos x\ne1$. Tử bằng $0$ cho $x=k\pi$; chỉ các bội lẻ của $\pi$ có mẫu khác $0$. Nghiệm $x=\pi+2k\pi$.
- Điều kiện $\sin x\ge0$; vế trái không âm còn vế phải không dương, nên hai vế bằng nhau chỉ khi $\sin x=0$. Do đó $x=k\pi$. Nếu chỉ bình phương sẽ nhận thừa sin x=1.
5. Những lỗi cần tránh
Không bỏ điều kiện sau rút gọn. Không nhân với mẫu chưa xét bằng $0$ hay khác $0$. Không loại một họ chỉ bằng một vài giá trị chỉ số; dùng hết các lớp dư. Sau bình phương, giữ dấu của hai vế hoặc thử trực tiếp vào đề.
Để lại một bình luận