Cấp số cộng: công sai, số hạng và tổng

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Cấp số cộng có hiệu hai số hạng liên tiếp không đổi. Từ hiệu này suy ra công thức số hạng và tổng; khi dùng dữ kiện đầu–cuối, cần giữ đúng số khoảng tăng giữa các chỉ số.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Định nghĩa và tính chất

Dãy $(u_n)$ là cấp số cộng nếu có số thực $d$ sao cho $u_{n+1}=u_n+d$ với mọi chỉ số hợp lệ. Số $d$ là công sai, có thể dương, âm hoặc bằng $0$. Dãy hữu hạn được kiểm tra ở mọi cặp liên tiếp trong danh sách.

Từ $u_{n-1}=u_n-d$ và $u_{n+1}=u_n+d$, suy ra $u_{n-1}+u_{n+1}=2u_n$ tại các chỉ số có đủ hai số hạng kề. Ngược lại, nếu đẳng thức này đúng ở mọi vị trí bên trong, các hiệu liên tiếp bằng nhau nên dãy là cấp số cộng. Riêng ba số theo thứ tự $a,b,c$ là cấp số cộng đúng khi $a+c=2b$.

2. Số hạng và tổng

Từ số hạng đầu đến số hạng thứ $n$ có $n-1$ lần cộng công sai, nên

Có thể chứng minh công thức bằng quy nạp. Với $S_n=u_1+\cdots+u_n$, viết lại tổng theo thứ tự ngược rồi cộng từng cặp. Mỗi cặp bằng $u_1+u_n$, có $n$ cặp, nên

Công thức đúng cả khi $d=0$ hoặc âm. Khi tìm chỉ số từ một giá trị số hạng, nghiệm phải là số nguyên dương và thuộc miền chỉ số; không nhận mọi nghiệm thực của phương trình.

3. Bảy ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Danh sách hữu hạn

Dãy $2,6,10,14,18$ có bốn hiệu liên tiếp đều bằng $4$, nên là cấp số cộng với $u_1=2$, $d=4$, số hạng cuối $u_5=18$.

Ví dụ 2. Công thức truy hồi

Cho $u_1=2$ và $u_n=u_{n-1}+3$ với $n\ge2$. Các số đầu là $2,5,8,11,\ldots$; công sai $3$. Đặc biệt $u_3=5+3=8$.

Ví dụ 3. Các số tự nhiên lẻ dương

Dãy $1,3,5,\ldots$ có $u_1=1$, $d=2$, nên số hạng thứ $n$ là $u_n=1+2(n-1)=2n-1$. Số $2n+1$ là số hạng kế tiếp $u_{n+1}$, không phải $u_n$ với cách đánh chỉ số này.

Ví dụ 4. Một dãy không phải cấp số cộng

Danh sách $1,3,7,11$ có các hiệu $2,4,4$. Vì các hiệu không đồng nhất, nó không phải cấp số cộng; chỉ hai hiệu khác nhau đã đủ bác bỏ.

Ví dụ 5. Ba góc của tam giác vuông

Sắp ba góc theo thứ tự tăng $u_1,u_2,u_3$, nên $u_3=90^\circ$. Vì chúng tạo cấp số cộng, $u_1+u_3=2u_2$. Tổng góc bằng $180^\circ$ nên $3u_2=180^\circ$, suy ra $u_2=60^\circ$, $u_1=30^\circ$. Ba góc là $30^\circ,60^\circ,90^\circ$.

Ví dụ 6. Số hạng ở chỉ số lớn

Với $u_1=2$, $d=3$, ta có $u_{10}=2+9\cdot3=29$ và $u_{100}=2+99\cdot3=299$. Chỉ số $100$ ứng với $99$ công sai kể từ số hạng đầu.

Ví dụ 7. Tổng và cách liệt kê kiểm tra

Cho $u_1=2$, $u_5=14$. Tổng năm số hạng là $S_5=5(2+14)/2=40$. Cách khác, từ $14=2+4d$ suy ra $d=3$, nên năm số là $2,5,8,11,14$ và tổng trực tiếp cũng bằng $40$. Hai cách phải dùng cùng số hạng đầu đã cho.

4. Bài tập tự luyện

1. Cho $u_1=7$, $d=-2$. Tính $u_6,S_6$.
2. Cho cấp số cộng có $u_3=8$, $u_7=20$. Tìm $u_1,d$.
3. Thêm một số giữa $4$ và $10$ để ba số theo thứ tự tạo cấp số cộng.

5. Những lỗi cần tránh

• Dùng $nd$ thay cho $(n-1)d$ trong công thức số hạng.
• Chỉ kiểm tra một hiệu rồi kết luận cả dãy là cấp số cộng.
• Thay số hạng đầu bằng một giá trị khác khi liệt kê.
• Không nêu thứ tự các góc khi chọn góc lớn nhất làm số hạng cuối.

6. Bài học liên quan

• Dãy số
• Cấp số nhân
• Quy nạp toán học

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.