Cấp số nhân: công bội, tổng và các nghiệm âm

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Cấp số nhân được xác định bởi một công bội dùng ở mọi bước. Công bội có thể âm hoặc bằng không; vì vậy phải kiểm tra điều kiện trước khi chia và không bỏ nghiệm âm khi lấy căn bậc chẵn.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Định nghĩa và trường hợp số không

Dãy $(u_n)$ là cấp số nhân nếu tồn tại $q\in\mathbb R$ sao cho $u_{n+1}=qu_n$ ở mọi bước; $q$ là công bội. Nếu số hạng trước khác $0$, có thể tính $q=u_{n+1}/u_n$. Nếu nó bằng $0$, không chia mà dùng trực tiếp truy hồi: mọi số hạng sau phải bằng $0$. Dãy toàn $0$ là cấp số nhân với mọi $q$; nếu $u_1\ne0$, công bội được xác định duy nhất.

Ở mọi vị trí có đủ hai số hạng kề, cấp số nhân thỏa $u_n^2=u_{n-1}u_{n+1}$. Đây là hệ quả của truy hồi, nhưng nếu cho phép số $0$, chiều ngược cần kiểm tra thêm. Chẳng hạn ba số $0,0,1$ thỏa bình phương số giữa bằng tích hai số ngoài nhưng không là cấp số nhân. Với ba số $a,b,c$ và $a\ne0$, điều kiện $b^2=ac$ là đủ: chọn $q=b/a$ thì $c=bq$. Không gọi $b$ là căn bậc hai dương khi chưa có điều kiện dấu.

2. Công thức số hạng và tổng

Với $u_1$ đã biết, ta có $u_n=u_1q^{n-1}$ cho $n\ge2$; tại $n=1$ dùng chính $u_1$. Viết riêng như vậy tránh ký hiệu $0^0$ khi $q=0$. Công thức được chứng minh bằng cách nhân $q$ ở mỗi bước.

Với $S_n=u_1+\cdots+u_n$, lấy $qS_n-S_n$ và triệt tiêu các số hạng chung. Nếu $q\ne1$, thu được

Nếu $q=1$, mọi số hạng bằng $u_1$ nên $S_n=nu_1$. Nếu $q=0$, dãy là $u_1,0,0,\ldots$ và tổng luôn bằng $u_1$. Khi phương trình cho $q^{2m}=A>0$, phải xét cả hai dấu của $q$ trừ khi đề yêu cầu công bội dương.

3. Tám ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Danh sách hữu hạn

Dãy $2,6,18,54$ là cấp số nhân vì mỗi số sau bằng $3$ lần số trước. Số đầu $2$, công bội $3$, số cuối $u_4=54$.

Ví dụ 2. Các lũy thừa của 2

Với $u_n=2^n$, $n\ge1$, có $u_{n+1}=2u_n$. Vậy $u_1=2$ và công bội là $2$.

Ví dụ 3. Dãy không phải cấp số nhân

Danh sách $1,3,9,54$ có các tỉ số liên tiếp $3,3,6$, không đồng nhất. Các mẫu đều khác $0$, nên phép so sánh tỉ số hợp lệ và bác bỏ tính cấp số nhân.

Ví dụ 4. Đẳng thức với bốn số hạng

Cho $a,b,c,d$ theo thứ tự là cấp số nhân. Chứng minh

Viết $b=aq$, $c=aq^2$, $d=aq^3$ cho $b^2=ac$, $c^2=bd$, $ad=bc$, đúng cả khi có số $0$. Khai triển vế trái bằng $a^2+d^2+2b^2+2c^2-2bc-2ac-2bd$. Thế ba quan hệ trên thu được $a^2+d^2-2ad=(a-d)^2$.

Ví dụ 5. Hai số hạng ở chỉ số lớn

Với $u_1=2$, $q=10$, ta có $u_5=2\cdot10^4=20000$ và $u_{10}=2\cdot10^9=2000000000$.

Ví dụ 6. Xen năm số giữa 1 và 729

Cần bảy số hạng với $u_1=1$, $u_7=729$, nên $q^6=729=3^6$. Có hai công bội thực $q=3$ và $q=-3$. Hai dãy tương ứng là $1,3,9,27,81,243,729$ và $1,-3,9,-27,81,-243,729$. Nếu yêu cầu mọi số xen giữa dương, chỉ nhận dãy thứ nhất.

Ví dụ 7. Tổng mười số hạng

Với $u_1=3$, $q=2$, $S_{10}=3(2^{10}-1)/(2-1)=3069$. Mẫu số khác $0$ nên công thức tổng được áp dụng.

Ví dụ 8. Hai tổng khối liên tiếp

Cho $u_1+u_2+u_3+u_4=30$ và $u_5+u_6+u_7+u_8=480$. Vì $u_{j+4}=q^4u_j$, tổng khối sau bằng $q^4$ lần khối trước. Do $30\ne0$, suy ra $q^4=480/30=16$, nên $q=2$ hoặc $q=-2$.

Khi $q=2$, $u_1(1+2+4+8)=30$ cho $u_1=2$. Khi $q=-2$, $u_1(1-2+4-8)=30$ cho $u_1=-6$. Cả hai thỏa dữ kiện; tổng tám số là $30+480=510$. Không thay một tổng bốn số bằng riêng số hạng thứ tư.

4. Bài tập tự luyện

1. Cho $u_1=5$, $q=-2$. Tính $u_4,S_4$.
2. Xen hai số giữa $2$ và $54$ để thành cấp số nhân bốn số hạng.
3. Ba số $0,0,1$ có là cấp số nhân không? Dãy $5,0,0,0,\ldots$ thì sao?

5. Những lỗi cần tránh

• Chia cho số hạng bằng $0$.
• Bỏ nghiệm âm của phương trình lũy thừa bậc chẵn.
• Dùng công thức tổng có mẫu $q-1$ khi $q=1$.
• Nhầm tổng nhiều số hạng với một số hạng riêng.

6. Bài học liên quan

• Dãy số
• Cấp số cộng
• Giới hạn của dãy số

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.