Giới hạn hàm số: điều kiện, dấu và dạng vô định

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Tính giới hạn cần xác định đúng điểm hoặc phía tiến tới, miền xác định và dấu của biểu thức. Các dạng vô định chỉ cho biết chưa thể kết luận bằng phép thế; chúng không phải giá trị giới hạn.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Ý nghĩa giới hạn và các bài toán mở đầu

Với hàm $f$ xác định trên miền $D$ và $x_0$ là điểm tụ của $D$, giới hạn $\lim_{x\to x_0}f(x)=L$ xét các điểm $x\in D$, $x\ne x_0$, tiến tới $x_0$. Theo tiêu chuẩn dãy, với mọi dãy $x_n\in D\setminus\{x_0\}$ tiến tới $x_0$, phải có $f(x_n)\to L$. Một dãy được chọn riêng chưa chứng minh giới hạn. Giá trị $f(x_0)$ có thể khác giới hạn hoặc chưa được định nghĩa.

Giới hạn trái và phải xét riêng $x<x_0$ và $x>x_0$. Khi $x_0$ là điểm tụ của miền xác định từ cả hai phía (ở mỗi phía đều có các điểm thuộc miền xác định gần điểm này tùy ý), giới hạn hai phía bằng $L$ đúng khi hai giới hạn một phía đều bằng $L$. Tại vô cùng, viết rõ $x\to+\infty$ hoặc $x\to-\infty$, không dùng một ký hiệu không có dấu để kết luận.

Bốn bài toán mở đầu đều xét $x_0=2$: $f(x)=x+1$; $g(x)=3$; $h(x)=x+1$ khi $x\ge1$, bằng $2$ khi $x<1$; $k(x)=x+1$ khi $x\ge1$, bằng $3$ khi $x<1$. Cả bốn đều có giới hạn $3$ tại $2$: trong lân cận $|x-2|<1/2$, hai hàm ghép đều dùng nhánh $x+1$. Nếu xét thêm tại $1$, $h$ có hai giới hạn bằng $2$, còn $k$ có giới hạn trái $3$, phải $2$, nên không có giới hạn hai phía tại $1$.

2. Điều kiện và các dạng cần biến đổi

Quy tắc tổng, tích, thương áp dụng trực tiếp với giới hạn hữu hạn; thương cần giới hạn mẫu khác $0$. Các dạng $0/0$, $\infty/\infty$, $+\infty-\infty$, $0\cdot\infty$, $1^\infty$ là vô định, cần biến đổi hoặc định lý bổ sung. Ký hiệu này mô tả xu hướng, không là phép tính trên số thực.

Với hàm hữu tỉ có tử bậc $n$, mẫu bậc $m$, hệ số đầu $a_n,b_m\ne0$, chia cho lũy thừa thích hợp. Nếu $n=m$, giới hạn ở cả hai phía vô cùng là $a_n/b_m$; nếu $n<m$, bằng $0$; nếu $n>m$, xét dấu của $(a_n/b_m)x^{n-m}$ theo từng phía. Không kết luận luôn $+\infty$. Với căn, luôn dùng $\sqrt{x^2}=|x|$, rồi xét dấu $x$.

Nếu tử tiến tới $C\ne0$ và mẫu tiến tới $0$ từ một phía có dấu cố định, dấu của thương là dấu của $C$ nhân dấu của mẫu. Chẳng hạn với $C>0$, mẫu $0^+$ cho $+\infty$, mẫu $0^-$ cho $-\infty$; với $C<0$ thì đảo dấu. Tử hữu hạn chia mẫu có độ lớn tiến vô cùng cho giới hạn $0$.

3. Mười một ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Khử nhân tử tại 1

Phép rút gọn đúng với $x\ne1$, là các điểm đang xét trong giới hạn; không gán giá trị cho phân thức tại $1$.

Ví dụ 2. Khử nhân tử chung của hai đa thức

Trong một lân cận đủ nhỏ của $1$, $x+1\ne0$, nên sau rút gọn có thể dùng quy tắc thương.

Ví dụ 3. Cùng bậc tại dương vô cùng

Chia cả tử và mẫu cho $x^3$:

Ví dụ 4. Tử bậc cao hơn, dấu âm

Tử chuẩn hóa tiến tới $-\infty$, mẫu tới số dương $2$, nên dấu cuối là âm.

Ví dụ 5. Tử bậc thấp hơn

Ví dụ 6. Căn tại dương vô cùng

Với $x>0$, $\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{1+1/x^2}$. Do đó

Ví dụ 7. Cùng biểu thức tại âm vô cùng

Với $x<0$, $|x|=-x$, nên dấu trước căn sau khi chia cho $x$ phải đổi:

Ví dụ 8. Hiệu hai căn tại dương vô cùng

Biểu thức xác định với $x\ge1$. Nhân tử và mẫu với tổng hai căn, là lượng liên hợp của hiệu:

Ví dụ 9. Kiểm tra phía tiến tới của cùng hiệu

Với cùng biểu thức và yêu cầu $x\to+\infty$, kết quả vẫn là $L_9=1$. Nếu xét thêm phía $x\to-\infty$, căn xác định với $x\le-1$, và $|x|=-x$ cho

Hai dấu khác nhau xuất phát từ $x/|x|$, không thể thay phía tiến tới giữa lời giải.

Ví dụ 10. Một hiệu có x ở ngoài căn

Với $x\ge2$, nhân lượng liên hợp và chia cho $x>0$:

Ví dụ 11. Cùng hiệu tại âm vô cùng

Với $x<0$, mẫu lượng liên hợp $x+\sqrt{x^2-2x}$ dương vì căn lớn hơn $|x|$. Phép biến đổi hợp lệ cho

Mẫu tiến tới $0$ từ phía âm vì $1-2/x>1$. Cũng có thể kiểm tra trực tiếp $x-\sqrt{x^2-2x}\le x\to-\infty$.

4. Bài tập tự luyện

1. Tính $\lim_{x\to2}(x^2-4)/(x-2)$.
2. Tính $\lim_{x\to-\infty}(3x^2+1)/(x^2-2)$.
3. Tính $\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+4}/x$.

5. Những lỗi cần tránh

• Đổi điểm hoặc phía tiến tới giữa đề và lời giải.
• Viết $\sqrt{x^2}=x$ khi $x<0$.
• Kết luận dấu vô cùng mà không xét dấu tử và mẫu.
• Nhầm lượng liên hợp của một hiệu với chính hiệu đó.

6. Bài học liên quan

• Giới hạn dãy số
• Hàm số liên tục
• Số e và giới hạn dạng lũy thừa

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.