Giới hạn dãy số: hữu hạn, vô hạn và dãy con

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Giới hạn mô tả điều xảy ra với toàn bộ phần đuôi của một dãy. Dãy có thể tiến đến một số, tăng vô hạn, giảm vô hạn hoặc không có giới hạn; tăng độ lớn chưa đủ để kết luận tiến tới dương vô cùng.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Phần đuôi của dãy và định nghĩa

Viết $u_n\to L$ khi với mọi $\varepsilon>0$ tồn tại số nguyên $N$ sao cho $|u_n-L|<\varepsilon$ với mọi $n\ge N$. Điều quan trọng là mọi số hạng từ một mốc trở đi đều gần $L$, không chỉ có một số hạng gần. Ký hiệu đầy đủ là $\lim_{n\to\infty}u_n=L$; trong bài, chỉ số tiến tới vô cùng có thể được viết tắt khi đã rõ.

Viết $u_n\to+\infty$ nếu với mọi $A>0$, từ một mốc trở đi có $u_n>A$. Viết $u_n\to-\infty$ nếu từ một mốc trở đi có $u_n<-A$. Các ký hiệu vô cùng không phải số thực. Một dãy có thể không có cả giới hạn hữu hạn lẫn hai giới hạn vô hạn này.

2. Các giới hạn và quy tắc cần dùng

Với số nguyên dương $k$, $1/n^k\to0$. Với $|q|<1$, $q^n\to0$. Có thể giải thích trường hợp thứ hai: nếu $0<r=|q|<1$, viết $1/r=1+c$ với $c>0$. Bất đẳng thức Bernoulli $(1+c)^n\ge1+nc$, được chứng minh bằng quy nạp, suy ra $|q^n|\le1/(1+nc)\to0$. Với $q=0$ thì kết luận trực tiếp. Nếu $q>1$, cũng từ Bernoulli, $q^n\ge1+n(q-1)\to+\infty$.

Dùng các định lý giới hạn chuẩn sau: nếu $u_n\to a$, $v_n\to b$ đều hữu hạn và $C$ cố định, thì tổng, hiệu, tích lần lượt tiến đến $a+b,a-b,ab$, và $Cu_n\to Ca$. Nếu thêm $b\ne0$, thương tiến đến $a/b$; mẫu khi ấy khác $0$ từ một mốc đủ lớn. Không áp dụng những phép toán hữu hạn này vào dạng $\infty-\infty$ hoặc $0\cdot\infty$.

3. Các bài toán và ví dụ có lời giải

Bài toán 1. Dãy 1/n

Các giá trị tại $n=1,2,\ldots,30$ là $1,1/2,1/3,\ldots,1/30$. Khi biểu diễn các điểm $(n;1/n)$, chúng nằm phía trên trục hoành và độ cao giảm về $0$. Để chứng minh, với $\varepsilon>0$, chọn $N>1/\varepsilon$ thì $n\ge N$ cho $0<1/n<\varepsilon$. Vậy $1/n\to0$; bảng hữu hạn chỉ minh họa kết luận.

Bài toán 2. Dãy 2 mũ n

Tại $n=1,2,\ldots,10$, dãy có các số $2,4,8,\ldots,1024$. Vì $2^n\ge n+1$, với mọi ngưỡng $A$ có thể chọn $N>A$ để mọi $n\ge N$ cho $2^n>A$. Do đó $2^n\to+\infty$.

Bài toán 3. Dấu luân phiên nhưng tiến về 0

Dãy $u_n=(-1/2)^n$ bắt đầu $-1/2,1/4,-1/8,1/16,\ldots$. Dấu luân phiên, nhưng $|u_n|=2^{-n}\to0$, nên $u_n\to0$. Không cần dãy tăng hoặc giảm để có giới hạn hữu hạn.

Bài toán 4. Dấu luân phiên và độ lớn tăng

Với $u_n=(-2)^n$, các số hạng chẵn $u_{2k}=4^k\to+\infty$; các số hạng lẻ $u_{2l+1}=-2\cdot4^l\to-\infty$, với $l\ge0$. Nếu dãy có một giới hạn hữu hạn hoặc vô hạn thì mọi dãy con cũng phải có cùng giới hạn, vì chúng vẫn thuộc phần đuôi của dãy. Hai dãy con trên có xu hướng trái nhau, nên $u_n$ không có giới hạn. Không viết giới hạn là một ký hiệu vô cùng không có dấu.

Ví dụ 1. Các giới hạn cơ bản

Từ các kết quả ở mục 2, ta có $1/n^2\to0$, $1/n^4\to0$, $(2/3)^n\to0$ và $3^n\to+\infty$. Điều kiện $|2/3|<1$ và $3>1$ quyết định hai kết luận khác nhau.

Ví dụ 2. Bốn phép tính với giới hạn hữu hạn

1. $\lim(1/n^2+1/n^4)=0+0=0$.
2. $\lim(1/n^2+1)=0+1=1$.
3. $\lim 1/(3n^2)=(1/3)\cdot0=0$.
4. $$\lim\frac{3n^2-1}{n^2}=\lim\left(3-\frac1{n^2}\right)=3.$$

4. Bài tập tự luyện

1. Tính $\lim(2+3/n)$.
2. Dãy $(-1)^n$ có giới hạn không? Xét các chỉ số chẵn và lẻ.
3. Tính $\lim(2n^2+n)/(n^2+1)$ và kiểm tra điều kiện mẫu.

5. Những lỗi cần tránh

• Xem bảng giá trị hữu hạn là chứng minh cho mọi chỉ số.
• Nhầm $|u_n|\to\infty$ với $u_n\to+\infty$.
• Cộng hoặc trừ các ký hiệu vô cùng như số thực.
• Dùng quy tắc thương mà không kiểm tra giới hạn mẫu khác $0$.

6. Bài học liên quan

• Dãy số
• Cấp số nhân
• Giới hạn hàm số

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.