Dãy số lớp 11: số hạng, tăng giảm và bị chặn
Phân biệt chỉ số với số hạng, xét dấu hiệu hai số hạng liên tiếp và chứng minh cận cố định để khảo sát dãy số.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Một dãy số gắn mỗi chỉ số với một số hạng. Cần phân biệt tính tăng giảm với tính bị chặn: một tính chất so sánh các số hạng kế tiếp, tính chất kia so sánh mọi số hạng với các hằng số cố định.
Mục tiêu: đọc số hạng tổng quát, xét đơn điệu và chứng minh bị chặn bằng bất đẳng thức cho mọi chỉ số.
Kiến thức cần biết: phân số, biến đổi đại số và quy nạp.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Dãy và chỉ số
Trong bài này, một dãy số thực là hàm từ $\mathbb N^*=\{1,2,3,\ldots\}$ vào $\mathbb R$. Viết $(u_n)$ để chỉ toàn bộ dãy; $u_n$ là số hạng tại chỉ số $n$. Dãy có thể cho bằng công thức trực tiếp hoặc bằng số hạng đầu và quy tắc truy hồi. Chỉ một danh sách vài số đầu thường chưa xác định duy nhất mọi số hạng về sau.
Chỉ số và giá trị khác nhau: $u_3$ là số hạng thứ ba, không có nghĩa bằng $3$. Nếu công thức có mẫu số hoặc căn, cần kiểm tra nó xác định với mọi chỉ số trong miền đã chọn.
2. Tăng giảm và bị chặn
Dãy tăng nghiêm nếu $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n\ge1$; giảm nghiêm nếu $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n\ge1$. Có thể xét dấu hiệu $u_{n+1}-u_n$. Nếu dùng tỉ số để so sánh với $1$, phải có điều kiện dấu phù hợp, thường là các số hạng dương.
Dãy bị chặn trên nếu tồn tại một số thực $M$ sao cho $u_n\le M$ với mọi $n\ge1$; bị chặn dưới nếu tồn tại $m$ sao cho $u_n\ge m$ với mọi $n\ge1$. Dãy bị chặn khi có cả hai cận. Các cận không cần đạt tới, nhưng phải là hằng số dùng được cho toàn bộ dãy; một biểu thức còn phụ thuộc $n$ chưa phải cận cố định.
Để chứng minh không bị chặn trên, cần chỉ ra với mọi số $M$ có chỉ số $n$ sao cho $u_n>M$. Không chỉ viết rằng các giá trị đã tính đang tăng; một dãy tăng vẫn có thể bị chặn trên.
3. Sáu ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Các lũy thừa của 2
Dãy $2,4,8,\ldots$ có $u_1=2$ và $u_n=2^n$ với $n\ge1$. Chẳng hạn $u_3=8$, $u_5=32$. Chỉ số bắt đầu tại $1$, nên không viết $u_n=2^{n-1}$ cho chính danh sách này.
Ví dụ 2. Một dãy tăng
Với $u_n=2n$, hiệu $u_{n+1}-u_n=2(n+1)-2n=2>0$ với mọi $n\ge1$, nên dãy tăng nghiêm.
Ví dụ 3. Một dãy giảm
Với $v_n=1/n$, mẫu số dương và
Vì vậy dãy giảm nghiêm. Dấu âm được xác định cho mọi $n\ge1$, không chỉ từ vài số đầu.
Ví dụ 4. Tăng và không bị chặn trên
Dãy $u_n=2n$ có $u_n\ge2>0$, nên bị chặn dưới, chẳng hạn bởi $0$. Với mọi $M\in\mathbb R$, chọn số nguyên dương $n>M/2$ thì $u_n=2n>M$. Vì vậy dãy không bị chặn trên.
Ví dụ 5. Cận trên không cần là số hạng
Với $v_n=(2n-1)/(n+1)$, biến đổi được $v_n=2-3/(n+1)<2$. Số $2$ là cận trên dù không số hạng nào bằng $2$. Hơn nữa $n+1\ge2$ cho $v_n\ge1/2$, nên dãy còn bị chặn dưới.
Ví dụ 6. Một dãy bị chặn
Với $w_n=1/n$ và $n\ge1$, ta có $0<w_n\le1$. Dấu ở cận trên phải là $\le$ vì $w_1=1$. Hai cận cố định $0,1$ chứng minh dãy bị chặn; đồng thời dãy giảm như ví dụ 3.
4. Bài tập tự luyện
- Với $u_n=3n-2$, tính $u_1,u_4$ và xét tăng giảm.
- Chứng minh $v_n=1/(n+1)$ giảm và bị chặn.
- Dãy $w_n=(-1)^n$ có bị chặn không? Có tăng hoặc giảm nghiêm không?
Mở đáp án và gợi ý
- $u_1=1$, $u_4=10$; hiệu kế tiếp bằng $3>0$, nên tăng nghiêm.
- Hiệu bằng $-1/((n+1)(n+2))<0$ và $0<v_n\le1/2$.
- Bị chặn vì $-1\le w_n\le1$. Nó luân phiên $-1,1,-1,1,\ldots$, nên không tăng hay giảm nghiêm.
5. Những lỗi cần tránh
- Nhầm “bị chặn dưới” với “giảm”.
- Dùng dấu nghiêm sai tại số hạng đầu.
- Xét vài số hạng rồi kết luận tính chất cho mọi chỉ số.
- Cho rằng mọi dãy tăng đều không bị chặn trên.
Để lại một bình luận