Công thức đạo hàm lớp 11: miền xác định và quy tắc tính

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Một công thức đạo hàm đi cùng miền mà nó đúng. Sau khi nhận diện hàm cơ bản, cần áp dụng quy tắc tổng, tích hoặc thương và kiểm tra các điểm bị loại khỏi miền ban đầu.

Mục tiêu: chọn công thức đúng; dùng đủ quy tắc; khai triển tử thương chính xác và viết tiếp tuyến tại điểm cho trước.

Kiến thức cần biết: định nghĩa đạo hàm, đa thức, phân thức và lượng giác tính bằng radian.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Chín công thức cơ bản

Các công thức dưới đây được dùng làm quy tắc chuẩn; bài tập trung vào cách áp dụng. Với $C$ hằng số và $n\ge1$ là số nguyên, có

Hàm hằng $y=1$ có đạo hàm $0$; xét nó riêng giúp tránh viết $0x^{-1}$ tại $0$. Với các hàm phân thức và căn, có

Đối với hàm lượng giác, góc phải tính bằng radian. Ta có

Tại 0, hàm căn bậc hai xác định nhưng công thức đạo hàm trên không áp dụng. Thậm chí tỉ số biến thiên từ phải là $1/\sqrt h\to+\infty$, nên không có đạo hàm hữu hạn từ bên phải.

2. Các quy tắc và thứ tự thực hiện

Giả sử $u,v$ đều có đạo hàm tại điểm đang xét, còn $C$ là hằng số. Khi ấy

Hai quy tắc có mẫu chỉ dùng tại điểm $v\ne0$. Nếu làm trên khoảng, cần các giả thiết ấy tại mọi điểm của khoảng. Trước hết ghi miền xác định, chọn $u,v$, tính riêng đạo hàm của chúng, rồi thay vào đúng quy tắc. Chỉ khai triển sau khi cấu trúc công thức đã đúng.

Đạo hàm của tích không phải tích hai đạo hàm; đạo hàm của thương cũng không phải thương hai đạo hàm. Với hàm có nhiều lớp như $\sin(x^2)$, còn cần quy tắc hàm hợp ở bài tiếp theo.

3. Bốn ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Đa thức hệ số 1 và −1

Cho $f(x)=x^3-x^2+x-1$. Từng hạng có đạo hàm trên $\mathbb R$, nên $f'(x)=3x^2-2x+1$. Hằng số cuối cho 0, còn đạo hàm của hạng $x$ cho 1.

Ví dụ 2. Đa thức có hệ số bất kỳ

Với $f(x)=2x^3-5x^2+3x+2$, quy tắc nhân hằng số và tổng cho $f'(x)=6x^2-10x+3$. Không nhân thêm hệ số của hằng số 2, vì đạo hàm của toàn hạng ấy bằng 0.

Ví dụ 3. Một thương hai đa thức

Xét $f(x)=(x^2+1)/(x^3-2x+1)$, với mẫu khác 0. Đặt $u=x^2+1$, $v=x^3-2x+1$; khi đó $u'=2x$, $v'=3x^2-2$. Suy ra

Dấu trừ trước tích thứ hai tác động lên toàn bộ tích. Giữ mẫu bình phương và miền $x^3-2x+1\ne0$; chẳng hạn $x=1$ không được thay vào cả hàm lẫn công thức đạo hàm.

Ví dụ 4. Dùng đạo hàm để viết tiếp tuyến

Với $f(x)=\sin x$ tại $x_0=\pi/6$, có $f(x_0)=1/2$, $f'(x_0)=\sqrt3/2$. Công thức tiếp tuyến cho

Đây cũng là $y=(\sqrt3/2)x+1/2-\sqrt3\pi/12$. Dạng qua điểm giúp kiểm ngay điểm tiếp xúc; dạng khai triển cho thấy hệ số góc.

4. Tự luyện

1. Tính đạo hàm của $(x^2+1)(x-2)$.
2. Tính đạo hàm của $(x^2+1)/(x-1)$ và ghi miền.
3. Tính đạo hàm của $\sin x-2\cos x$.

5. Những lỗi cần tránh

Không bỏ dấu âm trong đạo hàm cos hoặc cot. Không giữ nguyên hàm căn ở mẫu mà quên hệ số 2. Không áp dụng quy tắc thương tại điểm mẫu bằng 0. Khi cần đạo hàm tại một điểm, tính đúng hàm đạo hàm rồi mới thế điểm thuộc miền.

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.