Khảo sát hàm trùng phương: một hoặc ba cực trị
Phân loại hàm ax⁴+bx²+c theo dấu a và b; xử lý b=0, tính giá trị cực trị và khảo sát x⁴−2x²+2.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Hàm trùng phương là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Đạo hàm luôn bằng 0 tại gốc, nhưng hai nghiệm dừng bổ sung chỉ xuất hiện khi a và b trái dấu.
Mục tiêu: phân loại cực trị và tính đơn điệu, nhận ra tính đối xứng và dựng đúng đồ thị của ví dụ.
Kiến thức cần biết: đạo hàm, xét dấu tích và hàm chẵn.
Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Dạng hàm và đối xứng
Cho $f(x)=ax^4+bx^2+c$, với $a\ne0$. Tập xác định là $\mathbb R$ và $f(-x)=f(x)$, nên đồ thị nhận $Oy$ làm trục đối xứng. Nếu $a>0$, hai đầu đều tiến tới $+\infty$; nếu $a<0$, hai đầu đều tiến tới $-\infty$.
Vì là đa thức, không có tiệm cận đứng. Hiệu với bất kỳ đường thẳng $mx+n$ vẫn có bậc 4, nên không tiến về 0 ở vô cùng; do đó cũng không có tiệm cận ngang hoặc xiên là đường thẳng. Giá trị tại 0 là $c$, luôn giúp xác định một điểm trên trục đối xứng.
2. Một cực trị hay ba cực trị?
Nếu $ab<0$, đặt $r=\sqrt{-b/(2a)}>0$. Có ba nghiệm dừng $-r,0,r$, đều làm đạo hàm đổi dấu. Giá trị tại hai điểm ngoài bằng $f(\pm r)=c-b^2/(4a)$, còn tại 0 bằng $c$.
Với $a>0,b<0$, dấu đạo hàm trên bốn khoảng là $-,+,-,+$: hai cực tiểu tại $\pm r$, cực đại tại 0. Với $a<0,b>0$, các dấu đảo lại: hai cực đại ở ngoài, cực tiểu tại 0. Nhờ hai đầu vô cùng, các cực trị ngoài còn là giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất toàn cục tương ứng.
Nếu $ab\ge0$, không có hai nghiệm dừng ngoài gốc. Khi $b=0$, đạo hàm là $4ax^3$ có nghiệm bội ba nhưng vẫn đổi dấu tại 0. Khi $ab>0$, nhân tử $2ax^2+b$ không bằng 0 và cùng dấu với $a$. Do đó với $a>0$ hàm giảm bên trái 0, tăng bên phải 0 và có một cực tiểu; với $a<0$ có một cực đại.
Bốn dạng chính là hai dấu của $a$ kết hợp với ba cực trị hoặc một cực trị. Không nhầm “nghiệm bội” với “không đổi dấu”: bội ba và bội hai có cách đổi dấu khác nhau. Muốn vẽ, ghi các điểm cực trị, giao trục và chiều biến thiên trên nửa trục dương rồi dùng đối xứng.
3. Ví dụ có lời giải
Hàm y = x⁴ − 2x² + 2
Tập xác định là $\mathbb R$. Hàm chẵn, hai giới hạn tại $\pm\infty$ đều là $+\infty$. Đạo hàm $f'(x)=4x(x-1)(x+1)$ có ba nghiệm $-1,0,1$.
Hàm giảm trên $(-\infty;-1)$, tăng trên $(-1;0)$, giảm trên $(0;1)$, tăng trên $(1;+\infty)$. Tại $x=0$, giá trị 2 là cực đại địa phương; tại $x=\pm1$, giá trị 1 là cực tiểu. Dòng biến thiên là $+\infty\searrow1\nearrow2\searrow1\nearrow+\infty$.
Viết $f(x)=(x^2-1)^2+1\ge1$ cho thấy giá trị nhỏ nhất toàn cục bằng 1, đạt ở hai điểm $x=\pm1$. Không có giá trị lớn nhất vì hàm tăng vô hạn ở hai đầu. Đồ thị không cắt trục hoành, đi qua $(0;2)$ và đối xứng qua $Oy$. Hai điểm $(\pm1;1)$ có cùng tung độ nhưng là hai điểm cực tiểu phân biệt.
Nét vẽ phải đi qua ba điểm cực trị và giữ thứ tự bốn khoảng biến thiên. Một cực đại địa phương không cần lớn hơn mọi giá trị của hàm trên toàn trục số; ở ví dụ này, giá trị 2 tại 0 không phải giá trị lớn nhất.
4. Tự luyện
- Xét số cực trị của $x^4+2x^2+1$ và tìm giá trị nhỏ nhất.
- Xét số cực trị và giá trị lớn nhất của $-x^4+2x^2$.
- Hàm $x^4$ có cực trị tại 0 không, dù đạo hàm có nghiệm bội ba?
Gợi ý và đáp án
- Có một cực tiểu tại 0, giá trị 1, vì đạo hàm $4x(x^2+1)$ đổi dấu từ âm sang dương.
- Có cực tiểu tại 0 giá trị 0 và hai cực đại tại $\pm1$ giá trị 1. Do $-x^4+2x^2=1-(x^2-1)^2\le1$, giá trị lớn nhất toàn cục là 1.
- Có. Đạo hàm $4x^3$ âm khi $x<0$, dương khi $x>0$, nên 0 là cực tiểu và cũng là điểm đạt giá trị nhỏ nhất 0.
5. Những lỗi cần tránh
Không loại gốc ra khỏi danh sách nghiệm đạo hàm. Không dùng trường hợp ba cực trị khi $-b/(2a)\le0$. Phân biệt cực đại địa phương với giá trị lớn nhất toàn cục và phân biệt hai điểm cực tiểu với một giá trị cực tiểu chung.
6. Học tiếp
Đồ thị hàm số: Hàm bậc ba · Đồ thị hàm số: Hàm nhất biến · Đồ thị hàm số: Hàm chứa trị tuyệt đối · Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị.
Để lại một bình luận