Biểu diễn góc lượng giác: khi nào hai góc cùng một điểm?

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Một góc lượng giác xác định một điểm cuối trên đường tròn đơn vị. Chiều quay và số vòng có thể khác nhau nhưng vẫn tới cùng điểm; điều kiện quyết định là hiệu hai góc bằng một số nguyên lần 2 π.

Mục tiêu: biểu diễn các góc cơ bản; tìm toàn bộ góc cùng điểm; kiểm tra một khẳng định bằng hiệu góc hoặc tọa độ.

Kiến thức cần biết: đường tròn lượng giác, radian và các giá trị sin, cos cơ bản.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Từ góc đến điểm

Chọn $A=(1;0)$ làm điểm đầu trên đường tròn tâm $O$, bán kính 1. Sau phép quay góc $\alpha$, điểm cuối là $M(\cos\alpha;\sin\alpha)$. Góc dương quay ngược chiều kim đồng hồ, góc âm quay cùng chiều kim đồng hồ.

Hai góc $\alpha,\beta$ cùng điểm biểu diễn đúng khi

Một vòng quay thêm không đổi điểm cuối. Ngược lại, nếu cùng điểm cuối thì phần quay chênh lệch gồm trọn một số nguyên vòng. Vì vậy một điểm biểu diễn vô số góc; trong một khoảng nửa mở dài $2\pi$, mỗi điểm có đúng một số đo đại diện.

2. Cách rút góc và kiểm tra

Để vẽ một góc lớn hoặc âm, cộng hay trừ $2k\pi$ sao cho số đo rơi vào $[0;2\pi)$. Sau đó xác định trục hoặc góc phần tư, tính tọa độ nếu cần. Không thay tùy ý một góc bằng góc có cùng sin hoặc cùng cos, vì một tọa độ riêng chưa xác định duy nhất điểm.

Để kiểm hai góc có cùng điểm, lấy hiệu rồi chia cho $2\pi$. Chỉ nhận khi thương là số nguyên. Cũng có thể so sánh cả hai tọa độ sin và cos. Chênh lệch $\pi$ thường cho hai điểm đối xứng qua tâm; chênh lệch bất kỳ khác $2k\pi$ không được coi là cùng điểm.

Điểm biểu diễn là vị trí cuối, còn góc lượng giác có thêm chiều và số vòng. Cùng điểm cuối không có nghĩa hai số thực chỉ số đo bằng nhau.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Các điểm A, M, B, N

Đặt $A=(1;0)$ biểu diễn $0$; $M=(\sqrt3/2;1/2)$ biểu diễn $\pi/6$; $B=(0;1)$ biểu diễn $\pi/2$. Chọn $N=(-1/2;-\sqrt3/2)$ biểu diễn $4\pi/3$. Những góc biểu diễn cùng $N$ là $4\pi/3+2k\pi$, với $k\in\mathbb Z$; chẳng hạn $-2\pi/3$ khi $k=-1$.

Góc $2\pi/3$ có điểm $P=(-1/2;\sqrt3/2)$, khác $N$ vì tọa độ tung trái dấu. Hai góc $4\pi/3$ và $2\pi/3$ chênh nhau $2\pi/3$, không phải số nguyên lần $2\pi$, nên không cùng một điểm. Chúng chỉ có cùng giá trị cos.

Ví dụ 2. Góc âm và góc lớn

Góc $-7\pi/6$ cộng $2\pi$ thành $5\pi/6$, có điểm $(-\sqrt3/2;1/2)$. Góc $17\pi/6$ trừ $2\pi$ cũng thành $5\pi/6$. Hai góc ban đầu chênh $4\pi$, tức hai vòng, nên có cùng điểm cuối.

Ví dụ 3. Viết toàn bộ góc của một điểm

Điểm $C=(-1;0)$ có đại diện $\pi$. Mọi góc của điểm đó là $\pi+2k\pi$. Trong $[0;4\pi)$ có hai số đo $\pi,3\pi$. Trong $[-\pi;\pi)$ chỉ có $-\pi$; đầu mút $\pi$ bị loại bởi khoảng nửa mở. Cần giữ đúng dấu ngoặc ở các đầu khoảng.

4. Tự luyện

1. Hai góc $\pi/6$ và $13\pi/6$ có cùng điểm không? Còn $\pi/6$ và $7\pi/6$?
2. Tìm đại diện của $-13\pi/6$ trong $[0;2\pi)$.
3. Liệt kê các góc thuộc $[0;4\pi)$ cùng điểm với $\pi/2$.

5. Những lỗi cần tránh

Không dùng chỉ một tọa độ để kết luận hai góc cùng điểm. Không nhầm $2\pi/3$ với $-2\pi/3$. Khi rút góc, giữ số vòng nguyên và miền đại diện. Tên điểm trên hình phải đi cùng tọa độ hoặc góc đã định nghĩa, không đoán từ vị trí gần nhau trên hình.

6. Học tiếp

Đường tròn lượng giác · Công thức cung - góc liên kết · Công thức lượng giác.

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.