Phương trình bậc hai theo một hàm lượng giác: đặt ẩn và lọc nghiệm
Đặt ẩn phụ cho phương trình bậc hai theo sin, cos, tan, cot; lọc miền giá trị và viết đủ các nhánh nghiệm lượng giác.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Đặt ẩn phụ biến một phương trình lượng giác thành phương trình đại số. Nhưng nghiệm của phương trình đại số chỉ được nhận khi thuộc tập giá trị của hàm đã đặt và thỏa miền xác định ban đầu.
Mục tiêu: đặt ẩn phụ có điều kiện; dùng hằng đẳng thức để quy về một hàm; trả nghiệm đúng dấu và đúng chu kỳ.
Kiến thức cần biết: phương trình bậc hai, công thức sin²x+cos²x=1 và phương trình lượng giác cơ bản.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Miền của ẩn phụ
Với $a u(x)^2+b u(x)+c=0$, đặt $t=u(x)$. Nếu $u(x)=\sin x$ hoặc $\cos x$, phải có $-1\le t\le1$. Nếu $u(x)=\tan x$, cần $\cos x\ne0$; nếu là cot, cần $\sin x\ne0$. Tan và cot nhận mọi giá trị thực trên miền xác định của chúng.
Đây là phương trình bậc hai theo $t$ khi $a\ne0$. Nếu hệ số chứa tham số, tách $a=0$ trước khi dùng công thức nghiệm. Việc một nghiệm $t$ bị loại không làm mất các nghiệm $t$ khác đã thỏa điều kiện.
2. Ba bước tương đương
Trước hết ghi miền xác định và chọn ẩn phụ. Giải phương trình đại số theo $t$, rồi loại các giá trị ngoài miền đã ghi. Cuối cùng giải từng phương trình $u(x)=t$ còn lại, lấy hợp các họ nghiệm và kiểm lại điều kiện.
Khi xuất hiện cả $\cos^2x$ và $\sin x$, có thể thay $\cos^2x=1-\sin^2x$ để chỉ còn sin. Không thay $\cos x$ bằng $\sqrt{1-\sin^2x}$ nếu chưa xét dấu cos: căn bậc hai là không âm, còn cos có thể âm.
Đặt $t=\sin x$ không có nghĩa $x=t$. Cũng không được viết $\sin x=t$ chỉ có nghiệm $\arcsin t$: với $|t|<1$, thường còn nhánh $\pi-\arcsin t$ và các chu kỳ $2\pi$.
3. Ba ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Loại nghiệm vượt miền của sin
Giải $\sin^2x-4\sin x+3=0$. Đặt $t=\sin x\in[-1;1]$. Phương trình $(t-1)(t-3)=0$ cho $t=1$ hoặc $t=3$. Chỉ nhận $t=1$, vì sin không thể bằng $3$. Do đó $x=\pi/2+2k\pi$.
Ví dụ 2. Cùng đa thức nhưng ẩn là tan
Giải $\tan^2x-4\tan x+3=0$. Miền xác định là $x\ne\pi/2+k\pi$. Đặt $t=\tan x$, ta vẫn có $t=1$ hoặc $t=3$, nhưng lần này cả hai đều thuộc tập giá trị của tan. Nghiệm là
Các góc của hai họ đều có cos khác $0$, nên không cần loại thêm. Sự khác biệt giữa ví dụ 1 và 2 đến từ miền giá trị, không phải từ cách giải đa thức.
Ví dụ 3. Quy về sin và giữ đúng dấu
Giải $3\cos^2x-4\sin x-4=0$. Thay $\cos^2x=1-\sin^2x$, rồi đổi dấu cả hai vế, được $3\sin^2x+4\sin x+1=0$. Với $t=\sin x$, phân tích $(3t+1)(t+1)=0$. Cả $t=-1$ và $t=-1/3$ đều hợp lệ.
Nhánh $\sin x=-1$ cho $x=-\pi/2+2k\pi$. Đặt $\alpha=\arcsin(1/3)>0$. Vì $\sin(-\alpha)=-1/3$, nhánh còn lại cho $x=-\alpha+2k\pi$ hoặc $x=\pi+\alpha+2k\pi$. Thay $t=-1,-1/3$ vào $3t^2+4t+1$ đều được $0$.
4. Bài tập tự luyện
- Giải $2\cos^2x-3\cos x+1=0$.
- Giải $\sin^2x+\sin x-2=0$.
- Giải $\cot^2x-1=0$ và ghi miền xác định.
Mở gợi ý và đáp án
- Đặt $t=\cos x$: $(2t-1)(t-1)=0$. Nghiệm $x=\pm\pi/3+2k\pi$ hoặc $x=2k\pi$.
- $(t+2)(t-1)=0$; chỉ nhận $t=1$, nên $x=\pi/2+2k\pi$.
- Cần $x\ne k\pi$. Cot bằng $1$ hoặc $-1$, nên $x=\pi/4+k\pi$ hoặc $x=-\pi/4+k\pi$; có thể gộp $x=\pi/4+k\pi/2$.
5. Những lỗi cần tránh
Không dùng cùng điều kiện $[-1;1]$ cho tan/cot. Không quên trả về biến $x$. Với sin âm, giữ dấu âm trong góc hoặc chọn hàm ngược có cùng dấu. Nghiệm sin bằng $-1$ có chu kỳ $2\pi$, không phải mọi góc cách nhau $\pi$.
6. Bài học liên quan
- Phương trình lượng giác cơ bản
- Phương trình a sin x + b cos x = c
- Phương trình đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$
- Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai
Để lại một bình luận